2 / 11
Оценки упругих характеристик композита с короткими изотропными волокнами
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
5
имеют продольный модуль упругости (модуль Юнга) около 1 ТПа, а прочность
при растяжении «усов» карбида кремния достигает 30 ГПа [2]. В последнее вре-
мя в качестве коротких армирующих волокон рассматривают и различные
наноструктурные элементы (в частности, углеродные нанотрубки) [10, 11].
Для достоверного прогноза ожидаемых упругих характеристик композитов,
армированных высокопрочными и высокомодульными короткими волокнами,
необходима разработка математической модели, учитывающей влияние меха-
нического взаимодействия таких волокон с матрицей композита при различных
сочетаниях их длины и диаметра.
Математическая модель.
Пусть композит состоит из изотропной линейно
упругой матрицы, свойства которой характеризуют объемный модуль
K
и мо-
дуль сдвига
,
G
и линейно упругих изотропных волокон, имеющих объемный мо-
дуль
K
и модуль сдвига
.
G
Объемную концентрацию волокон в композите обо-
значим
.
V
C
Представительный элемент структуры композита включает в себя множе-
ство волокон, продольные оси которых равновероятно распределены по всем
возможным направлениям. Это означает, что композит не обладает текстурой и
его допустимо полагать изотропным [5]. Искомые упругие характеристики ком-
позита представим объемным модулем
K
и модулем сдвига
.
G
Форму волокна длиной
l
и диаметром
d
приближенно представим эллипсо-
идом вращения с отношением полуосей
= / .
b l d
Такое приближение позволяет
использовать для описания механического взаимодействия волокна с окружаю-
щей его средой решение задачи о напряженно-деформированном состоянии
эллипсоидального включения, помещенного в однородную изотропную линейно
упругую среду [12]. В волокне как в элементе структурной неоднородности ком-
позита возникает возмущение напряженно-деформированного состояния по
отношению к заданному на большом расстоянии от включения напряженно-
деформированному состоянию в окружающей среде. В частицах матрицы, кото-
рые примем шаровыми с переменным радиусом от некоторого конечного до бес-
конечно малого, что позволяет заполнить все пустоты между эллипсоидальными
волокнами, также возникнет возмущение напряженно-деформированного состо-
яния. Последующее осреднение по представительному объему композита таких
возмущений во всех волокнах и частицах матрицы позволяет получить расчетные
зависимости для искомых упругих характеристик композита [5, 13].
Особенность эллипсоидального включения состоит в том, что возникающее
в нем возмущение напряженно-деформированного состояния однородно по
объему включения [12], т. е. не зависит от координат. Если на большом расстоя-
нии от включения (по сравнению с его размерами) заданы компоненты
,
ij
, =1, 2, 3,
i j
тензора деформации окружающей среды, то в эллипсоидальном
включении появится возмущение деформированного состояния, определяемое
компонентами [14]