3 / 11
В.С. Зарубин, О.В. Новожилова, С.И. Шишкина
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
=
,
, =1, 2, 3,
ij
ijmn mn
m n
(1)
где
1
= (
) (
);
ijmn
ijrs
ijrs
ijpq pqrs
rsmn rsmn
C C C W C C
, , , =1, 2, 3,
r s p q
,
ijrs
C
ijrs
C
—
компоненты тензоров четвертого ранга коэффициентов упругости включения и
окружающей среды;
pqrs
W
— компоненты тензора, зависящие от формы вклю-
чения и определяющие его взаимодействие с окружающей средой.
Возмущения деформированного состояния в частицах матрицы композита
определяют соотношения, аналогичные формуле (1):
=
,
ij
ijmn mn
(2)
где
1
= (
) (
);
ijmn
ijrs
ijrs
ijpq pqrs
rsmn rsmn
C C C W C C
ijrs
C
— компоненты тензора ко-
эффициентов упругости матрицы;
pqrs
W
— компоненты тензора, зависящие от
формы частицы матрицы и характеризующие ее взаимодействие с окружающей
средой. Компоненты тензоров в соотношениях (1) и (2) определены в прямо-
угольной декартовой системе координат
1 2 3
,
Ox x x
неподвижной относительно
представительного объема композита.
Связь тензора
ˆ
C
коэффициентов упругости композита с искомыми значе-
ниями модулей
K
и
G
устанавливает равенство [15]
ˆ
ˆ
ˆ
=3 2 .
K G
C V D
(3)
Здесь
ˆ ,
V
ˆ
D
— тензоры четвертого ранга, являющиеся объемной и девиаторной
составляющими единичного тензора четвертого ранга
ˆ ˆ ˆ+
I =V D
и имеющие
компоненты
= / 3,
ijmn ij mn
V
= (
) / 2
,
ijmn im jn in jm
ijmn
D
V
где
1
ij
при
i j
и
0
ij
при
i j
[5]. Связь тензоров
ˆ
C
и
ˆ
C
с заданными значениями
модулей
,
K
G
для волокон и
,
K
G
для матрицы композита определяют
формулы, аналогичные равенству (3).
Осредненные по представительному объему композита возмущения дефор-
мированного состояния в волокнах и частицах матрицы должны быть равны
нулю, т. е. с учетом формул (1) и (2) имеем
(1 )
= 0,
V ijmn
V ijmn
C
C
(4)
где угловые скобки обозначают процедуру осреднения. Условие (4) характери-
зует так называемый метод самосогласования определения эффективных упру-
гих характеристик неоднородной среды [5, 16]. При хаотической ориентации
волокон процесс осреднения указанных возмущений эквивалентен приравни-
ванию нулю двух линейных инвариантов тензоров, компоненты которых за-
ключены в угловых скобках. Таким образом, вместо условия (4) получим два
равенства
(1 )
= 0,
(1 )
= 0.
V iimm
V iimm
V imim
V imim
C
C
C
C
(5)
Равенства (5) позволяют найти искомые значения
K
и
G
. Предварительно
необходимо вычислить компоненты
pqrs
W
и
pqrs
W
тензоров, обратных так
называемому тензору Эшелби [17].