4 / 11
Оценки упругих характеристик композита с короткими изотропными волокнами
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
7
Обращение тензора Эшелби.
Тензору Эшелби четвертого ранга можно по-
ставить в соответствие квадратную матрицу шестого порядка. В случае эллип-
соида вращения матрица
N
имеет семь независимых элементов, которые при
совпадении оси вращения с координатной осью
3
O
примут вид [5, 12]
11
22
11
1
12
21
11
1
33
33
3
= =
,
= = / 3 ,
=
;
N N QD RD N N QD RD N QD RD
13
23
31
1 31
32
13
3 66
11
1
= =
,
= =
,
= / 3
;
N N QD RD N N QD RD N QD RD
2
44
55
13
1
= = 1
/ 2 (1 ) / 2,
N N Q b D R D
где
= (3 / 2) / (1 );
Q
= (1 / 2 ) / (1 );
R
= (3 / 2 ) / (3
)
K G K G
— коэффици-
ент Пуассона композита,
2
1
3
1
1/2
3
2 2
2
0
/ 2
=
=
1 arcch ;
=1/ 2 ;
2 (1 )
1
b
du
b
D
b b
b D D
u b u
b
2
13
1 3
3 =(
)/( 1);
D D D b
2
31 13
= ;
D D b
11
13
4 =1 3 ;
D D
33
13
=1/3 2 .
D
D
Остальные элементы этой матрицы равны нулю.
Обращение тензора Эшелби можно заменить обращением соответствующей
матрицы
,
N
представив ее как блочную, включающую в себя четыре блока в виде
матриц третьего порядка. Матрица
,
W
обратная матрице
,
N
также будет блоч-
ной, структура которой аналогична структуре матрицы
.
N
При этом элементы
диагонального блока будут равны
44
55
44
= =1/
W W N
и
66
66
1 / ,
W N
а обращение
блока с матрицей
0
N
даст матрицу
W
третьего порядка с элементами
11
22
11 33 13 31 0
12
21
13 31 12 33 0
= = (
) / ,
= = (
) / ;
W W N N N N
W W N N N N
13
23
12
11 13 0
31
32
12
11 31 0
= = (
) / ,
= = (
) / ;
W W N N N W W N N N
33
11 12 11 12 0
=(
)(
)/ ,
W N N N N
где
0
0
11 12 11 33
13 31 12 33
det( ) (
)(
2
)
N N N N N N N N N
— определитель матри-
цы
0
.
N
Тензор Эшелби для шаровых частиц матрицы композита является изотроп-
ным, т. е. его компоненты не зависят от ориентации системы координат. Этот
тензор можно представить в виде [5]
1
4 5
ˆ
ˆ
ˆ
=
2
.
3(1
15(1 )
N
V
D
Тензору
ˆ ,
V
обратному тензору
ˆ ,
N
соответствует симметрическая матрица
W
с элементами
11 22
33
= = =(1 )(1/(1 ) 5/(4 5 )),
W W W
12 13
= =
W W