Сравнение вариантов метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач

12 / 14

М.П. Галанин, П.В. Глизнуцина, В.В. Лукин, А.С. Родин
46 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
В таком численном подходе можно утвержать о решении с точностью до
длины грани конечного элемента. Здесь в контакт входят всего 2–3 конечных
элемента. Однако следует отметить, что при уменьшении шага сетки решение
стремится к аналитическому.
Заключение. Рассмотрен метод численного решения контактных задач с
условием скольжения без трения на контактной поверхности. Для численного
решения задачи использован МКЭ с билинейными функциями формы, для уче-
та контактных условий выбран метод множителей Лагранжа с тремя варианта-
ми реализации: контакт точка–поверхность; контакт поверхность–поверхность;
контакт поверхность–поверхность с подсегментами.
Как показали результаты, метод множителей Лагранжа позволяет получать
вполне удовлетворительные результаты. Метод контакт поверхность–поверхность
более точно отражает физические свойства задач, чем метод контакт точка–
поверхность. Однако при несовпадении сеток на границе контакта в обоих мето-
дах появляются колебания нормальных напряжений на границе контакта. В мето-
де контакт точка–поверхность наблюдаются колебания с приблизительно неизме-
ненной амплитудой на всей границе котакта, а в методе контакт поверхность–
поверхность ближе к центру симметрии задачи колебания несущественны, но в
области особой точки колебания возрастают и их амплитуда больше, чем в методе
контакт точка–поверхность. Метод контакт поверхность–поверхность с подсег-
ментами позволяет сглаживать колебания, однако этот эффект проявляется на
ограниченном круге задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.
2. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Известия РАН. Механика
твердого тела. 2005. № 1. С. 45–87.
3. Wriggers P. Computational contact mechanics. Springer, 2006. 521 p.
4. Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых дефор-
мируемых тел // Прикладная механика. 1980. Т. 16. № 1. С. 13–18.
5. Богатырь С.М., Галанин М.П., Кузнецов В.И. и др. Математическое моделирование термо-
упругого контактного взаимодействия осесимметричных тел // Инженерный журнал: наука
и инновации. 2013. Вып. 4. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-4-667
URL:
6. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: СО РАН,
2000. 262 с.
7. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.
8. Зенкевич O. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 543 с.
9. Сагдеева Ю.А., Копысов С.П., Новиков А.К. Введение в метод конечных элементов.
Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2011. 44 с.
10. Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В., Родин А.С. Варианты реализации метода
множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач // Препринт ИПМ
им. М.В. Келдыша РАН. 2015. № 89. 27 с. URL: