их объемной концентрации
C
V
и отсоотношения между коэффици-
ентами теплопроводности матрицы и применяемых при модификации
элементов. В данной работе рассмотрен композит, модифицированный
элементами в виде эллипсоидов, которые можно считать приемлемым
приближением к геометрической форме включений различной приро-
ды в матричную среду материала (в том числе образующихся и в по-
ликристаллических материалах при их термической обработке [2, 3]).
Математическую модель переноса тепловой энергии в композите
построим в предположении, что эллипсоидальные включения не кон-
тактируютмежду собой, т.е. отделены друг отдруга слоем материала
матрицы. Это предположение соответствует условию
C
V
1
, чт о,
видимо, отвечает возможной объемной концентрации нанотрубок при
модификации композитов или включений, возникающих при термиче-
ской обработке поликристаллических материалов. Композит считаем
состоящим из множества изотропных эллипсоидальных частиц с коэф-
фициентом теплопроводности
λ
0
, каждая из которых окружена слоем
изотропного материала матрицы с коэффициентом теплопроводности
λ
m
. Значения
λ
0
и
λ
m
считаем известными.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятого эллипсои-
дального включения с неограниченным объемом окружающей его ма-
трицы. Начало прямоугольной декартовой системы координат
Oξ
1
ξ
2
ξ
3
выберем в центре эллипсоида, а направления координатных осей со-
вместим с главными осями эллипсоида, уравнение поверхности кото-
рого имеетвид
ξ
2
1
/b
2
1
+
ξ
2
2
/b
2
2
+
ξ
2
3
/b
2
3
= 1
, где
b
k
,
k
= 1
,
2
,
3
, — полуоси
эллипсоида.
Примем, что на большом удалении от центра включения составля-
ющие градиента установившегося распределения температуры равны
T,
◦
k
(запятая с последующим нижним индексом
k
у обозначения
T
температуры означает производную по направлению оси
Oξ
k
). Тогда
во включении возникнетустановившееся распределение температуры
с составляющими градиента [4]
T,
k
=
T,
◦
k
1
−
D
◦
α
(1
−
¯
λ
)
, α
=
k,
(1)
где
¯
λ
=
λ
0
/λ
m
и
D
◦
α
=
b
1
b
2
b
3
2
∞
0
du
(
b
2
α
+
u
)
f
(
u
)
, α
=
k,
(2)
причем
f
(
u
) = (
b
2
1
+
u
)(
b
2
2
+
u
)(
b
2
3
+
u
)
и
D
◦
1
+
D
◦
2
+
D
◦
3
= 1
(в част-
ности, для шара
D
α
= 1
/
3
). Интегралы в формуле (2) можно выразить
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
77
