I
1
[
q
] =
−
(
λ
1
T,
◦
1
)
2
2
HS
0
−
2
πb
∗
1
b
∗
2
b
∗
3
/
3
λ
1
+2
π
b
∗
1
b
∗
2
b
∗
3
−
b
1
b
2
b
3
λ
m
+2
π
b
1
b
2
b
3
λ
0
+
+
λ
1
(
T,
◦
1
)
2
HS
0
.
(17)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности
теплового потока для неоднородной области отличаются от действи-
тельных, и поэтому значения
J
1
[
T
]
и
I
1
[
q
]
не будутсовпадать, при-
чем
J
1
[
T
]
> I
1
[
q
]
. В промежутке между этими значениями должно
быть расположено и значение
J
0
= (
λ
1
/
2)(
T,
◦
1
)
2
HS
0
минимизируемо-
го функционала (14) для однородной области с коэффициентом те-
плопроводности
λ
1
. Тогда при
b
1
b
2
b
3
/
(
b
∗
1
b
∗
2
b
∗
3
) =
C
3
∗
=
C
V
с учет ом
формулы (15) из условия
J
1
[
T
]
≥
J
0
получим верхнюю оценку
λ
1
≤
1
−
C
V
+ ¯
λC
V
=
λ
+
,
(18)
а с учетом формулы (17) из условия
I
1
[
q
]
≤
J
0
найдем нижнюю оценку
λ
1
≥
1
/
(1
−
C
V
+
C
V
/
¯
λ
) =
λ
−
.
(19)
Использованные достаточно простые допустимые распределения
температуры и плотности теплового потока учитывают лишь объемное
содержание каждой из трех изотропных фаз в принятой трехфазной
модели композита. Поэтому для всех трех направлений координатных
осей представленные в формулах (18) и (19) оценки эффективного
коэффициента теплопроводности композита будут идентичными.
На рис. 2 и 3 при различных значениях
¯
λ
приведены построен-
ные по формулам (18) и (19) графики зависимостей от
C
V
оценок
λ
+
(штрихпунктирные линии) и
λ
−
(штриховые линии). Для эллипсои-
дального включения со значениями
¯
b
2
=
√
3
/
2
и
¯
b
3
= 1
/
2
получим
амплитуду
θ
=
π/
3
и модуль
K
= 1
/
√
3
эллиптических интегралов
со значениями
F
(
θ, K
) = 1
,
1049
и
E
(
θ, K
) = 0
,
9945
[ 8 ]. По этим
значениям вычислены
D
◦
1
= 0
,
221
,
D
◦
2
= 0
,
274
и
D
◦
3
= 0
,
506
и за-
тем по формуле (13) на рис. 2 и 3 для тех же значений
¯
λ
построены
сплошными кривыми графики зависимостей
λ
α
от
C
V
, причем глад-
ким кривым соответствуют зависимости для
λ
1
, кривым, помеченным
квадратами, — для
λ
2
и кривым, помеченным точками, — для
λ
3
. Вид-
но, что для фиксированного значения
¯
λ
все сплошные кривые распо-
ложены между штрихпунктирными и штриховыми линиями, причем
в случае малого отклонения значения
¯
λ
отединицы для выбранной
формы включения различие между значениями
λ
α
невелико, т.е. ани-
зотропия композита оказывается сравнительно слабой. По мере от-
клонения
¯
λ
отединицы несмотря на совпадение оценок и значений
λ
α
при
C
V
= 0
и
C
V
= 1
разность
λ
+
−
λ
−
для для промежуточных
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
