через эллиптические интегралы [5]. Например, при
b
1
> b
2
> b
3
D
◦
1
=
¯
b
2
¯
b
3
(
F
(
θ, K
)
−
E
(
θ, K
))
(1
−
¯
b
2
2
) 1
−
¯
b
2
3
, D
◦
3
=
¯
b
2
¯
b
3
¯
b
2
2
−
¯
b
2
3
¯
b
2
¯
b
3
−
E
(
θ, K
)
1
−
¯
b
2
3
,
где
¯
b
2
=
b
2
/b
1
и
¯
b
3
=
b
3
/b
1
, а
F
(
θ, K
)
и
E
(
θ, K
)
— эллиптические
интегралы соответственно первого и второго рода с амплитудой и
модулем
θ
= arcsin 1
−
¯
b
2
3
,
K
= (1
−
¯
b
2
2
)
/
(1
−
¯
b
2
3
)
.
Выражение для температуры вне включения в точке
M
с коорди-
натами
ξ
k
приметвид
T
(
M
) =
T,
◦
k
ξ
k
−
( ¯
λ
−
1)
D
α
T,
◦
k
ξ
k
1 +
D
◦
α
( ¯
λ
−
1)
, α
=
k,
(3)
где
D
α
=
b
1
b
2
b
3
2
∞
β
du
(
b
2
α
+
u
)
f
(
u
)
.
(4)
В формулах (3) и (4)
β
— положительный корень уравнения
ξ
2
1
/
(
b
2
1
+
+
β
) +
ξ
2
2
/
(
b
2
2
+
β
) +
ξ
2
3
/
(
b
2
3
+
β
) = 1
— характеризует положение точки
M
с координатами
ξ
k
; в формуле (3) и далее использовано правило
суммирования по повторяющемуся латинскому индексу.
Из формулы (3) следует, что наличие включения создает в матрице
возмущение температурного поля относительно линейного распреде-
ления на большом удалении отэтого включения, описываемое соот-
ношением
Δ
T
◦
=
−
( ¯
λ
−
1)
D
α
T,
◦
k
ξ
k
1 +
D
◦
α
( ¯
λ
−
1)
, α
=
k.
Далее рассмотрим случай, когда
T,
◦
2
=
T,
◦
3
= 0
; для возмущения тем-
пературного поля получим
Δ
T
◦
=
−
( ¯
λ
−
1)
D
1
T,
◦
1
ξ
1
1 +
D
◦
1
( ¯
λ
−
1)
.
(5)
Предположим, что все эллипсоидальные включения имеют одина-
ковые форму и размеры и одинаково ориентированы относительно вы-
бранной системы координат. Это приведет к различию эффективных
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
