коэффициентов теплопроводности в направлениях различных коорди-
натных осей, т.е. к анизотропии свойств композита по отношению к те-
плопроводности. Пусть
n
таких включений находятся в объеме, огра-
ниченном поверхностью эллипсоида с уравнением
ξ
2
1
/B
2
1
+
ξ
2
2
/B
2
2
+
+
ξ
2
3
/B
2
3
= 1
и равном
4
πB
1
B
2
B
3
/
3
, где
B
k
=
C
0
b
k
,
С
0
= const 1
.
Поскольку объем каждого включения равен
4
πb
1
b
2
b
3
/
3
, объемную кон-
центрацию включений можно определить величиной
C
V
=
n/C
3
0
. Для
точки с координатами
ξ
k
, удаленной на весьма большое расстояние от
каждого из включений, в силу
(
b
α
/ξ
α
)
2
1
(
α
=
k
) можно принять
β
=
ξ
k
ξ
k
. Тогда, согласно формуле (5), в этой точке
n
весьма уда-
ленных включений, расположенных в объеме большого эллипсоида с
полуосями
B
k
, вызовутвозмущение температуры, равное
Δ
T
=
n
Δ
T
◦
=
−
n
( ¯
λ
−
1)
D
1
T,
◦
1
ξ
1
1 +
D
◦
1
( ¯
λ
−
1)
.
(6)
Если считать большой эллипсоид представительным элементом
композита с рассматриваемыми включениями, то этот элемент с иско-
мым значением
λ
1
эффективного коэффициента теплопроводности в
направлении оси
Oξ
1
создаст в той же весьма удаленной точке с коор-
динатами
ξ
k
с учетом формулы (5) такое же возмущение температуры
Δ
T
=
−
(
λ
1
−
1)
D
∗
1
T,
◦
1
ξ
1
1 +
D
◦
1
(
λ
1
−
1)
,
(7)
где
λ
1
=
λ
1
/λ
m
и
D
∗
1
=
B
1
B
2
B
3
2
∞
β
du
(
B
2
1
+
u
)
F
(
u
)
,
(8)
причем
F
(
u
) = (
B
2
1
+
u
)(
B
2
2
+
u
)(
B
2
3
+
u
)
. Приравняв правые части
формул (6) и (7), запишем
λ
1
=
1 + ( ¯
λ
−
1)(
D
◦
1
+ (1
−
D
◦
1
) ¯
D
1
C
V
)
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
1
(1
−
¯
D
1
C
V
)
,
(9)
где
¯
D
1
равно отношению интеграла при
α
= 1
в формуле (4) к ин-
тегралу в формуле (8). Для весьма удаленной точки
|
ξ
1
| → ∞
, чт о
равносильно
β
→ ∞
и стремлению к нулю каждого из этих интегра-
лов. Для раскрытия неопределенности типа
0
/
0
используем правило
Лопиталя, продифференцировав каждый из интегралов по переменно-
му пределу
β
. В итоге получим
¯
D
1
= lim
β
→∞
(
B
2
1
+
β
)
F
(
β
)
(
b
2
1
+
β
)
f
(
β
)
= 1
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
79
