Таким образом, формула (9) принимаетвид
λ
1
=
1 + ( ¯
λ
−
1)(
D
◦
1
+ (1
−
D
◦
1
)
C
V
)
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
1
(1
−
C
V
)
.
(10)
Отметим, что в частном случае шаровых включений при
D
◦
1
= 1
/
3
композитбудетизотропным, а формула (10) совпадетс известной фор-
мулой Максвелла [ 4 ].
Аналогичным путем можно найти формулы для
λ
2
=
λ
2
/λ
m
и
λ
3
=
λ
3
/λ
m
, где
λ
2
и
λ
3
— эффективные коэффициенты теплопро-
водности композита в направлении осей
Oξ
2
и
Oξ
3
соответственно. В
итоге при
α
= 1
,
2
,
3
имеем
λ
α
=
1 + ( ¯
λ
−
1)(
D
◦
α
+ (1
−
D
◦
α
)
C
V
)
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
α
(1
−
C
V
)
.
(11)
В случае абсолютно нетеплопроводных включений (
λ
0
= 0
) из
формулы (11) следует
λ
α
=
(1
−
D
◦
α
)(1
−
C
V
)
1
−
D
◦
α
(1
−
C
V
)
,
(12)
Формула (12) применима к материалу с коэффициентом теплопровод-
ности
λ
m
, содержащему поры с объемной концентрацией
C
V
. При
абсолютно теплопроводных включениях (
λ
0
→ ∞
) формула (11) при-
метвид
λ
α
=
D
◦
α
+ (1
−
D
◦
α
)
C
V
D
◦
α
(1
−
C
V
)
.
(13)
Применим двойственную вариационную формулировку задачи ста-
ционарной теплопроводности [ 6, 7 ] для получения двусторонних оце-
нок эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого
композита. Воспользуемся трехфазной моделью композита в виде ци-
линдрической области
V
, имеющей в направлении координатной оси
Oξ
1
высоту
H
и ограниченной параллельными основаниями, каждое
из которых имеет достаточно большую площадь
S
0
. Эта область со-
держитполовину эллипсоидального включения с полуосями
b
1
,
b
2
и
b
3
,
покрытого слоем матрицы, ограниченным половиной поверхности эл-
липсоида с полуосями
b
∗
1
=
C
∗
b
1
,
b
∗
2
=
C
∗
b
2
и
b
∗
3
=
C
∗
b
3
,
C
∗
>
1
, центр
которого совпадает с началом выбранной выше системы координат
Oξ
1
ξ
2
ξ
3
(рис. 1). Плоскости симметрии половины включения и слоя
матрицы совпадают с основанием цилиндра, лежащим в координат-
ной плоскости
ξ
2
Oξ
3
. Остальная часть области содержит однородный
материал с искомыми свойствами композита.
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
