Примем следующие значения параметров. Длины подземных
участков
l
подз
=
l
1
=
l
10
= 50(30)
м и наземных
l
2
= 30
м,
l
j
= 10
м
(
j
= 3
. . .
8
),
l
9
= 20
м. Коэффициенты упругости пружин
c
j
= 2
×
×
10
6
Н/м
(
j
= 2
,
4
,
6
,
8)
. Массовые элементы
m
1
=2500
кг,
m
2
=2500
кг,
m
3
= 2900
кг и погонная масса
μ
j
= 300
кг/м
(
j
= 1
. . .
10)
. Из-
гибная жесткость стержня на каждом участке
EJ
j
= 2
,
4
·
10
9
Н
·
м
2
(
j
= 1
. . .
10)
и жесткость грунта
k
1
=
k
10
= 3
,
5
·
10
5
(3
,
5
·
10
3
)
Н/м
2
.
Изгибные колебания каждого
j
-го однородного участка стержня
описываются дифференциальным уравнением. Пусть
x
j
— горизон-
тальная координата
j
-го участка стержня, а
u
j
(
x
j
, t
)
— вертикальный
прогиб на этом участке. Согласно [2] принимаем, что при изгибных ко-
лебаниях перемещения трубы на всех участках трубопровода
u
j
(
x
j
, t
)
малы.
Системы уравнений для участков трубопровода и соотношения
на стыках.
Имеется десять участков, два из которых подземные. Из-
гибные колебания стержня с учетом гипотезы упруговязкого внутрен-
него неупругого сопротивления [3] описываются дифференциальным
уравнением
μ
j
∂
2
u
j
(
x
j
, t
)
∂t
2
+
EJ
j
∂
4
u
j
(
x
j
, t
)
∂x
4
j
+
ν
j
ω
·
∂
5
u
j
(
x
j
, t
)
∂t∂x
4
j
+
+
α
j
μ
j
∂u
j
(
x
j
, t
)
∂t
+
k
j
u
(
x
j
, t
) = 0
,
(1)
где
u
j
(
x
j
, t
)
— прогиб;
μ
j
— погонная масса;
EJ
j
— изгибная жесткость
рассматриваемого участка стержня;
α
j
— коэффициент внешнего со-
противления в подземных участках;
ν
j
ω
— внутреннее трение,
ν
j
=
δ
j
π
,
а
δ
j
— логарифмический декремент колебаний;
k
j
— обобщенный коэф-
фициент упругости подземных участков трубопровода, вычисляемый
по формуле
k
j
=
c
y
0
D
н
,
где
D
н
— наружный диаметр трубы (в дальнейших расчетах полага-
ем
D
н
= 1020
мм);
c
y
0
— коэффициент нормального сопротивления
грунта, вычисляемый по формуле [4]
c
y
0
=
0
,
12
E
гр
η
гр
(1
−
μ
2
гр
)
√
l
0
D
н
(1
−
e
−
2
h
0
D
н
)
,
где
E
гр
— модуль деформации грунта ненарушенной структуры, МПа;
η
гр
— коэффициент снижения модуля деформации грунта засыпки по
сравнению с грунтом ненарушенной структуры;
μ
гр
— коэффициент
Пуассона грунта;
l
0
= 1
м — единичная длина трубопровода;
h
0
—
расстояние от верха засыпки до оси трубы, м.
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
