стыков и тем самым определяются четыре вектора состояния на пра-
вом конце. Схематично это можно записать так:
X
N
1
(1) =
A
1
N
B
N
−
1
A
N
−
1
· · ·
A
2
B
2
A
1
1
X
11
(0);
X
N
2
(1) =
A
1
N
B
N
−
1
A
N
−
1
· · ·
A
2
B
2
A
1
1
X
12
(0);
X
N
3
(1) =
A
1
N
B
N
−
1
A
N
−
1
· · ·
A
2
B
2
A
1
1
X
13
(0);
X
N
4
(1) =
A
1
N
B
N
−
1
A
N
−
1
· · ·
A
2
B
2
A
1
1
X
14
(0)
.
(7)
Алгоритм решения системы матричных уравнений (7) следующий.
Матрицы
A
j
и
A
1
j
в явном виде не определяются, а при помощи
математического пакета Matlab интегрируются системы дифференци-
альных уравнений (6) для каждого участка. При этом значения параме-
тров состояния сечения (5) в конце предыдущего участка, умноженные
на матрицу перехода соответствующего стыка, являются начальными
условиями для системы дифференциальных уравнений на последую-
щем участке.
В соответствии с методом начальных параметров в концевом сече-
нии стержня вектору
X
1
(0)
соответствует вектор
X
N
(1) =
C
1
X
N
1
(1) +
C
2
X
N
2
(1) +
C
3
X
N
3
(1) +
C
4
X
N
4
(1)
.
Этот вектор должен удовлетворять граничным условиям на правом
конце стержня. Таким образом, для стержня с заделанными концами
1-, 2-, 5- и 6-я компоненты этого вектора приравниваются к нулю. Это
дает возможность определить константы
C
1
,
C
2
,
C
3
и
C
4
как решение
системы четырех алгебраических уравнений.
После вычисления констант формируется вектор начальных усло-
вий:
X
1
(0) = [0 0
C
1
C
2
0 0
C
3
C
4
]
T
,
и в соответствии с алгоритмом метода последовательно определяются
параметры состояния сечений стержня на границах участков.
В таблице приведены рассчитанные значения частот затухающих
колебаний трех низших тонов при различных длинах участков, при-
мыкающих к подземным.
Из таблицы видно, что значения частот при разных положениях
колонны на трубе отличаются незначительно, особенно если колонна
удалена от подземных участков. Таким образом, допустимо моделиро-
вать участок трубопровода при его ремонте стержнем с навешенными
на него неподвижными грузами и пружинами (см. рис. 2).
Результаты расчета частот затухающих колебаний двух низших то-
нов в зависимости от декремента колебаний
ν
для различных соче-
таний параметров системы приведены на рис. 3. Как видно, при уве-
личении декремента колебаний, учитывающего внутреннее трение, до
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
91
