Отметим, что коэффициент
k
j
отличен от нуля только на подзем-
ных участках (при
j
= 1
и
j
= 10)
.
Введем безразмерную координату
ξ
j
=
x
j
/l
j
, где
l
j
— длина участ-
ка, тогда уравнение (1) примет вид
∂
4
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
4
j
+
ν
j
ω
∂
5
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t∂ξ
4
j
+
μ
j
l
4
j
EJ
j
∂
2
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t
2
+
+
α
j
μ
j
l
4
j
EJ
j
∂y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t
+
k
j
l
4
j
EJ
j
y
j
(
ξ
j
, t
) =
0, (2)
где
u
j
(
x
j
, t
) =
y
j
(
ξ
j
, t
)
.
При изгибных колебаниях состояние сечения стержня характери-
зуется четырьмя параметрами — прогибом
y
j
(
ξ
j
, t
)
, углом поворота
ϕ
j
(
ξ
j
, t
) =
∂y
j
(
ξ
j
, t
)
l
j
∂ξ
j
, изгибающим моментом, который при учете вну-
треннего трения определяется как [5]
M
j
(
ξ
j
, t
) =
EJ
j
l
2
j
∂
2
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
2
j
+
ν
j
ω
∂
3
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t∂ξ
2
j
,
и поперечной силой
Q
j
(
ξ
j
, t
) =
EJ
j
l
3
j
∂
3
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
3
j
+
ν
j
ω
∂
4
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t∂ξ
3
j
.
С учетом этого уравнение (2) приводится к эквивалентной системе
уравнений
∂y
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
j
=
l
j
ϕ
j
(
ξ
j
, t
);
∂ϕ
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
j
+
ν
j
ω
∂
2
ϕ
j
(
ξ
j
, t
)
∂t∂ξ
j
=
l
j
EJ
j
M
j
(
ξ
j
, t
);
∂M
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
j
=
l
j
Q
j
(
ξ
j
, t
);
∂Q
j
(
ξ
j
, t
)
∂ξ
j
=
−
μ
j
l
j
∂
2
y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t
2
−
α
1
μ
j
l
j
∂y
j
(
ξ
j
, t
)
∂t
−
k
j
l
j
y
j
(
ξ
j
, t
)
.
(3)
Для нахождения решения системы (3) воспользуемся методом ком-
плексных амплитуд. Решение ищется в виде
y
j
(
ξ
j
, t
) =
Re
¯
y
j
(
ξ
j
, t
);
ϕ
j
(
ξ
j
, t
) =
Re
¯
ϕ
j
(
ξ
j
, t
);
M
j
(
ξ
j
, t
) =
Re
¯
M
j
(
ξ
j
, t
);
Q
j
(
ξ
j
, t
) =
Re
¯
Q
j
(
ξ
j
, t
);
¯
y
j
(
ξ
j
, t
) = [
y
1
j
(
ξ
j
) +
i y
2
j
(
ξ
j
)]
e
iωt
;
¯
ϕ
j
(
ξ
j
, t
) = [
ϕ
1
j
(
ξ
j
) +
i ϕ
2
j
(
ξ
j
)]
e
iωt
;
¯
M
j
(
ξ
j
, t
)=[
M
1
j
(
ξ
j
) +
i M
2
j
(
ξ
j
)]
e
iωt
;
¯
Q
j
(
ξ
j
, t
) = [
Q
1
j
(
ξ
j
) +
i Q
2
j
(
ξ
j
)]
e
iωt
.
(4)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
87
