Для стыка с упругой подушкой формула перехода имеeт вид
X
j
+1
(0) =
B
j
X
j
(1)
,
где
B
j
— единичная матрица размера 8
×
8.
Определение частот затухающих колебаний.
Воспользуемся ме-
тодом начальных параметров [5]. Формула перехода от вектора состо-
яния
X
j
(0)
в начале учас тка к вектору
X
j
(1)
в конце участка имеет вид
X
j
(1) =
A
j
X
j
(0)
, где
A
j
— матрица перехода участка. Таким образом,
вектор состояния на левом конце связан с вектором на правом конце
соотношением
X
N
(1) =
A
1
N
B
N
−
1
A
N
−
1
· · ·
A
2
B
2
A
1
1
X
1
(0)
.
Здесь
A
1
1
, A
1
N
— матрицы переходов подземных участков;
A
j
— ма-
трицы переходов участков
j
= 2
, . . . ,
9
и
B
j
— матрицы переходов
стыков;
N
= 10
— число участков.
Запишем
граничные условия
для стержня с заделанными концами:
y
1
(0
, t
) = 0;
EJ
1
∂y
1
(0
, t
)
∂x
1
= 0
— на левом конце;
y
N
(
l
N
, t
) = 0;
EJ
N
∂y
N
(
l
N
, t
)
∂x
N
= 0
— на правом конце.
Тогда в соответствии с формулой (6) вектор состояния сечения на
левом конце стержня определяется как
X
1
(0) = [0 0
M
1
(0)
Q
1
(0) 0 0
M
2
(0)
Q
2
(0)]
T
.
Для исключения из расчета неизвестных параметров
M
1
(0)
, M
2
(0)
и
Q
1
(0)
, Q
2
(0)
вектор
X
1
(0)
представим в виде
X
1
(0) =
C
1
X
11
+
C
2
X
12
+
C
3
X
13
+
C
4
X
14
,
где
X
11
,
X
12
,
X
13
и
X
14
— векторы, удовлетворяющие граничным усло-
виям. Например, возьмем такие векторы:
X
11
= [0 0 1 0 0 0 0 0]
T
;
X
12
= [0 0 0 1 0 0 0 0]
T
;
X
13
= [0 0 0 0 0 0 1 0]
T
;
X
14
= [0 0 0 0 0 0 0 1]
T
,
тогда
C
1
=
M
1
(0)
,
C
2
=
Q
1
(0)
и
C
3
=
M
2
(0)
,
C
4
=
Q
2
(0)
.
Для определения этих констант необходимо выполнить четыре рас-
чета, в которых векторы
X
11
(0)
,
X
12
(0)
,
X
13
(0)
и
X
14
(0)
по отдельно-
сти умножаются последовательно на матрицы перехода участков и
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
