Таблица
N
1
2
3
4
5
6
7
8
α
N
i
1 – 1
i
−
i
−
1
1
−
i
β
N
1
i
i
−
1
−
1
−
i
−
i
1
m
= 0
,
λ
=
±
1
2
α
±
1
2
i
±
1
2
±
1
2
±
1
2
i
±
1
2
i
±
1
2
±
1
2
±
1
2
i
m
= 0
,
λ
=
iβk ik
k
k
ik
ik
k
k
ik
Между операторами проекций, как показывает вывод, имеют место
следующие коммутационные соотношения:
Π
ix
Π
ky
−
Π
ky
Π
ix
= 0 (
k
=
i
);
Π
Nx
Π
Ny
−
Π
Ny
Π
Nx
=
−
2 Π
Nz
(
N
= 1
,
8);
Π
Nx
Π
Ny
−
Π
Ny
Π
Nx
= 2 Π
Nz
(
N
= 4
,
5);
Π
Nx
Π
Ny
−
Π
Ny
Π
Nx
=
−
2
i
Π
Nz
(
N
= 2
,
3);
Π
Nx
Π
Ny
−
Π
Ny
Π
Nx
= 2
i
Π
Nz
(
N
= 6
,
7)
.
(5)
Изкоммутационных соотношений можно сделать следующие вы-
воды. Если
k
=
i
, то коммутация естественна, ибо операторы про-
екций относятся к разным спинам (разным частицам). При
k
=
i
полученные коммутационные соотношения отличаются от обычных
коммутационных соотношений для момента (орбитального или спи-
нового), во-первых, коэффициентом 2 и, во-вторых, множителем (
±
1
или
±
i
). Для четверки операторов, дающих вещественную проекцию
спина (
Π
2
,
Π
3
,
Π
6
,
Π
7
), в коммутационных соотношениях, как и должно
быть, присутствует мнимая единица. Для другой же четверки опера-
торов, дающих мнимую проекцию, мнимой единицы нет, или, иначе,
она присутствует в квадрате.
Таким образом, можно ввести понятие спиновой инверсии — ин-
версии спинового момента между вещественной и мнимой областями.
Эта инверсия описывается, естественно, умножением на
±
i
(опера-
тор инверсии есть умножение на
±
i
), и связана с переходом между
вещественной и мнимой областями сразу трех объектов: cпинового
момента импульса и его проекции; oператоров проекции спина; ком-
мутационных соотношений этих операторов.
Разумеется, спиновая инверсия нарушает закон сохранения момен-
та (как вещественного, так и мнимого) и поэтому может, вообще го-
воря, происходить лишь виртуально. Условия, при которых спиновая
инверсия может осуществляться реально, будут рассмотрены ниже.
3. При исследовании проекции можно рассчитывать на аксиальную
симметрию, поэтому запишем операторы проекции (4) в цилиндриче-
ской системе координат, тогда уравнение на их собственные значения
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
75
