имеет вид
Ψ =
χ
(
ρ
)
r
2
(1
−
σ
2
)
1 +
σ
1
−
σ
A
2
α
.
(14)
Для этого необходимо:
1) приравнять показатели степени:
A
2
α
=
μ
2
=
±
1
4
,
A
α
=
±
1
2
;
(15)
2) изменить знак в скобке в формуле (14):
1 +
σ
1
−
σ
±
1
4
. Это легко
выполняется, так как в (14) можно вводить любые множители, в том
числе и комплексные, поскольку уравнение (6) линейное;
3) поскольку в формуле (14) в знаменателе стоит
(1
−
σ
2
)
, а в
формуле (13) — выражение
√
1
−
σ
2
, то
1
√
1
−
σ
2
нужно представить в
виде ряда по гипергеометрическим рядам (точнее, по полиномам, ибо
гипергеометрические ряды обрывающиеся) с множителями
√
2
n
+ 1
.
Если ряд
∞
n
=0
a
n
√
2
n
+ 1
·
F
−
n,
1 +
n
;
1
2
;
1
−
σ
2
(16)
представить в явном виде и сравнить его с рядом разложения функции
1
√
1
−
σ
2
, то видно, что в (16) должны выпадать члены с нечетными
показателями при
σ
. Этого можно добиться, умножая каждый член
ряда (16) на
1
√
2
n
+ 1
и складывая попарно члены с
n
= 1
и
n
= 2
, с
n
= 3
и
n
= 4
и т.д.
Если после этой процедуры приравнять коэффициенты при оди-
наковых степенях ряда (16) и ряда функции
1
√
1
−
σ
2
, то придем к
бесконечной системе уравнений для коэффициентов
a
n
. Такая си-
стема может быть решена методом последовательных приближений
[4]. Результаты решения приведены на рис. 2 (в полулогарифмиче-
ской шкале). Видно, что коэффициенты (объединяясь в пары) быстро
затухают.
Так как изсовокупности решений (2) при спине
1
2
удалось постро-
ить решение уравнения на собственные значения оператора проекции,
то, следовательно, совокупность решений (2) полная, а это аргументи-
рует законность отбрасывания лишних ветвей на графике зависимости
верхнего индекса функции Лежандра от спина
s
в работе [1].
Мы оставляем открытым вопрос о конструировании функции (14)
изсовокупности функций (2) в остальных случаях, когда
|
σ
|
>
1
,
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
