Рис. 2. Коэффициенты ряда (16)
k
=
m
= 0
,
θ
= 0
, при функ-
циях Лежандра второго рода. Для
этих параметров не видно непо-
средственных путей к решению за-
дачи и возможны два варианта: ли-
бо указанные параметры вообще не
имеют смысла, либо нужно приме-
нять более изощренное разложение
в ряд, использовать кратные ряды
и т.д.
Итак, при
|
σ
|
<
1
,
θ
= 0
и функ-
циях Лежандра первого рода, как
указывалось выше,
B
=
iβk
= 0
,
а согласно (15) имеем
A
α
=
±
1
2
. Тогда проекция спина квантуется:
λ
= (
A
+
B
) =
±
1
2
α
. Проекция спина
λ
зависит от коэффициента
α
в операторах
Π
N
. Она приведена в таблице для массивных частиц
(
m
= 0
). Видно, что операторы
Π
1
,
Π
4
,
Π
5
,
Π
8
дают мнимую проекцию
спина, а операторы
Π
2
,
Π
3
,
Π
6
,
Π
7
— вещественную. Это символически
изображено на рис. 1, где вертикальные и горизонтальные прямые, со-
единяющие концы операторов, отсекают на вещественной и мнимой
осях соответствующие проекции.
5. Все сказанное выше относилось к массивным частицам (
m
= 0
).
Рассмотрим теперь безмассовые частицы
m
= 0
. Для них не существу-
ет системы покоя, в любой системе отсчета такая частица движется со
скоростью света. Рассмотрим в этом случае операторы проекции спина
на направление движения и их собственные значения (спиральность).
Для безмассовой частицы
±
z
=
ct
, поэтому будем искать решение
уравнения (7) в форме, не зависящей отдельно от
z
и
t
, а только от
σ
=
ct
z
. Подстановка в (7) функции
f
(
z, t
)
в виде
f
(
σ
)
приводит к
уравнению
(1
−
σ
2
)
f
=
A
α
f.
(17)
Изсказанного следует, что для безмассовой частицы
σ
=
ct
z
=
±
1
,
поэтому
(1
−
σ
2
) = 0
и левая часть уравнения (17) при любой функции
f
обращается в нуль. Если взять какое-либо нетривиальное решение
f
= 0
, то это приводит к условию
A
= 0
. Тогда в формуле (9) для
проекции спина остается только
B
. А так как
B
квантуется согласно
(10), то это приводит и к квантованию спиральности. Результаты да-
ны в таблице для
m
= 0
, где
k
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
Итак, спиральность
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
79
