принимает вид
α
z
c
∂
Ψ
∂t
+
ct
∂
Ψ
∂z
+
β
∂
Ψ
∂ϕ
=
λ
Ψ
,
(6)
где
Ψ
— собственная функция, а
λ
— собственное значение оператора
проекции.
В уравнении (6) нет зависимости от радиальной переменной
ρ
,
поэтому зависимость
Ψ
от
ρ
произвольна. Если в уравнении (6) под-
ставить функцию
Ψ
в виде
Ψ =
f
(
t, z
)
ψ
(
ϕ
)
, то функции
f
и
ψ
разде-
ляются и для них получаются уравнения
α
z
cf
∂f
∂t
+
ct
f
∂f
∂z
=
A
;
(7)
β
ψ
dψ
dϕ
=
B
;
(8)
A
+
B
=
λ
.
(9)
Уравнение (8) для угловой переменной имеет решение
ψ
=
C
exp
B
β
ϕ
. Стандартное требование однозначности (перио-
дичности) приводит к условию
B
β
=
ik,
(10)
где
k
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
.
Итак, решение уравнения (6) имеет вид
Ψ(
t, z, ρ, ϕ
) =
χ
(
ρ
) exp(
ikϕ
)
f
(
t, z
)
,
(11)
где
χ
(
ρ
)
— произвольная функция
ρ
,
f
(
t, z
)
— решение уравнения (7).
Как уже говорилось, оператор квадрата спина (1) и оператор проек-
ции коммутируют. Поскольку собственные значения этих операторов
вырождены, их собственные функции, вообще говоря, не будут со-
впадать, но изсовокупности собственных функций одного оператора,
если эта совокупность полна, можно построить линейные комбина-
ции, которые будут собственными функциями другого оператора [2].
С учетом этого обстоятельства, а также того, что в решение (2)
в знаменатель входит
r
2
, будем искать решение уравнения (7) в виде
f
(
t, z
) =
1
z
2
Φ(
σ
)
, где
σ
=
ct
z
. Подстановка функции этого вида
f
(
t, z
)
в уравнение (7) приводит к уравнению
(1
−
σ
2
)
d
Φ
dσ
=
A
α
+ 2
σ
Φ
,
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
