МАТЕМАТИКА
УДК 519.632
C. А. Л а з а р е в а
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ ФЕДОРЕНКО
Рассмотрен метод конечных суперэлементов Федоренко. Получе-
ны априорные оценки погрешностей метода и установлена его
насыщаемость в пространствах Соболева. Выведено неравенство
Джексона для МКСЭ-приближений. Исследование проведено на
примере задачи Дирихле, результаты могут быть распростране-
ны на класс общих линейных эллиптических задач. Приведен при-
мер численного расчета распределения электрического потенциала
в проводящих объектах.
Ключевые слова:
метод конечных суперэлементов, мелкомасштабные
неоднородности, априорные оценки погрешности, насыщаемость.
Принципы метода конечных суперэлементов.
Метод конечных
суперэлементов (МКСЭ) впервые предложен в работах Федоренко и
его коллег [1, 2]. Он входит в класс численных методов, основанных на
декомпозиции области в сочетании с выбором особой аппроксимации
решения. Приближенное решение МКСЭ заведомо обладает некоторы-
ми свойствами, присущими рассматриваемой математической модели.
Это позволяет решать ряд сложных вычислительных задач. В рабо-
тах [1–7] эффективность МКСЭ подтверждена примерами расчетного
анализа различных физических проблем. В настоящей работе рассмо-
трены задачи, которые характеризуются наличием множества резких
особенностей, проявляющихся на малых пространственных масшта-
бах. Такие особенности могут представлять собой как сингулярности
самого решения, так и резкие неоднородности области расчета.
Рассмотрим, например, задачу Дирихле для дифференциального
уравнения Лапласа в двумерной области
Ω
R
2
:
−
Δ
u
= 0
в
Ω;
(1)
u
=
g
на
∂
Ω
.
(2)
Расчетная область
Ω
— квадрат с исключенными из него кругами,
радиус которых мал по сравнению с размерами
Ω
. Полагаем, что в
окрестностях таких мелких отверстий сосредоточены все резкие син-
гулярности решения. Здесь
u
— искомая функция;
∂
Ω
— граница рас-
четной области;
g
— некоторая известная функция на
∂
Ω
.
Кратко опишем схему МКСЭ применительно к этой задаче. В
МКСЭ подобно обычному методу конечных элементов (МКЭ) рас-
четная область
Ω
разбита на некоторое число подобластей, называе-
мых
суперэлементами
. В отличие от МКЭ размеры суперэлементов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
3
