граница, состоящая из конечного числа гладких кривых, т.е.
S
k
=
∪
l
I
kl
,
l
= 1
, . . . , L
. Интерес представляют те варианты МКСЭ, где гранич-
ные базисные функции
ϕ
i
(4) на отрезках
I
kl
заданы полиномами или
сплайнами Лагранжа [5]. Введем необходимые определения.
Пространство всех полиномов
порядка не выше
ν
на отрез-
ке
I
kl
обозначим
P
ν
(
I
kl
)
[10]. На границе
S
введем пространство
P
ν
(
S
) =
Q
k,l
P
ν
(
I
kl
)
как множество всех полиномов порядка не выше
ν
на каждой из ее частей
I
kl
. Cимволом
P
N
ν
(
S
)
обозначим
простран-
ство всех сплайнов
порядка не выше
ν
, построенных при разбиении
S
на
(
N
−
1)
отрезок длины
|
I
kl
|
/ν
[10]. Полиномиальная интерполя-
ция служит частным случаем интерполяции сплайнами, поэтому при
ее рассмотрении вариант полиномиальной граничной интерполяции
МКСЭ отдельно выделять не будем.
Аппроксимирующее пространство
ˉ
V
N
ν
(Ω)
МКСЭ
— это линейная
оболочка, образованная всеми базисными функциями
Φ
i
МКСЭ (3)–(4)
с граничной интерполяцией посредством сплайнов
P
N
ν
(
S
)
, т.е.
ˉ
V
N
ν
(Ω) =
v
2
H
1
(Ω) :
−
Δ
v
= 0
в каждом
Ω
k
и
γ
0
S
v
2 P
N
ν
(
S
)
.
(8)
Здесь след функции на
S
определен равенством
γ
0
S
v
=
γ
0
S
k
v
K
E
k
=1
,
K
E
— число суперэлементов в области. Оператор взятия следа
γ
0
S
k
,
заданный на
C
∞
( ˉΩ
k
)
соотношением
γ
0
S
k
u
(
x
) =
u
|
S
k
(
x
)
, x
2
S
k
,
(9)
непрерывно действует из пространства
H
1
(Ω
k
)
в
H
1
/
2
(
S
k
)
для всех
k
= 1
. . . K
E
. При этом существует непрерывный оператор, обратный
к
γ
0
S
k
и действующий из
H
1
/
2
(
S
k
)
в
H
1
(Ω
k
)
. Такой общий случай дей-
ствия оператора
γ
0
S
k
справедлив как для гладкой, так и для многоуголь-
ной или просто липшицевой границы
S
k
(см. [9, 11]). Определение
ˉ
V
N
ν
(Ω)
содержит также следующее условие:
γ
0
S
v
=
γ
0
S
k
v
=
γ
0
S
m
v
почти всюду на
S
k
∩
S
m
(10)
(для всех
S
k
∩
S
m
6
= 0
и всех соседних суперэлементов
Ω
k
,
Ω
m
8
k, m
[12]). Аппроксимирующее пространство МКСЭ содержит его как глав-
ное условие, накладываемое на все базисные функции. Иногда, если
это не вызовет недоразумений, будем использовать также символ
γ
0
,
не обозначая при этом множество, на котором определена область
значений оператора следа. Аналогично определим и
аппроксимирую-
щее пространство
ˉ
V
ν
(Ω)
МКСЭ
, представляющее собой линейную
оболочку, образованную базисными функциями МКСЭ с граничной
интерполяцией посредством полиномов
P
ν
(
S
)
.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
