оператора следа
γ
0
S
(см. (9)), а именно оператор
γ
0
S
k
на классе гармо-
нических функций из
H
1
(Ω
k
)
сопоставляет такой функции
u
един-
ственный элемент
γ
0
S
k
u
2
H
1
/
2
(
S
k
)
.
Это следствие существования
оператора
γ
0
S
k
на
S
k
и однозначной разрешимости задачи Дирихле в
пространстве
H
1
(Ω
k
)
с такими граничными данными [9, 15]. Результат
справедлив как на гладкой, так и на многоугольной границе суперэле-
мента
S
k
.
При этом для однозначной разрешимости задачи Дирихле
в пространстве
H
1
(Ω)
достаточно коэрцитивности соответствующей
ей билинейной формы
a
(
u, v
)
, которая задает скалярное произведе-
ние в
H
1
(Ω)
и коэрцитивна на пространстве слабых решений. Легко
убедиться [9, 19], что в классическом случае линейного эллиптиче-
ского уравнения второго порядка для этого достаточно эллиптичности
задачи в области суперэлемента
Ω
k
.
Здесь и далее эквивалентность норм будем обозначать
k∙k
H
1
(Ω)
'
' k
γ
0
∙k
H
1
/
2
(
S
)
. В целом,
A
'
B
, 9
c
1
, c
2
= const :
c
1
A
6
B
6
c
2
A
,
если
A, B
— некоторые выражения.
Для любой функции
u
2
H
1
(Ω)
имеем
k
u
k
H
1
(Ω)
'
γ
0
u
H
1
/
2
(
S
)
.
(20)
Утверждение 1.
Пусть
ε
N
ν
(
u
)
есть наилучшее приближение функ-
ции
u
2
H
R
(Ω)
аппроксимационным пространством МКСЭ
ˉ
V
N
ν
(Ω)
по норме пространства
H
1
(Ω)
,
а величина
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
есть наилуч-
шее приближение ее следа
γ
0
u
в пространстве
H
1
/
2
(
S
)
сплайнами
P
N
ν
(
S
)
.
Тогда
c
1
∙
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
≤
ε
N
ν
(
u
)
≤
c
2
∙
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
,
(21)
где
c
1
, c
2
– некоторые константы.
H
Действительно, согласно определению
ε
N
ν
(
u
) = inf
v
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
k
u
−
v
k
H
1
(Ω)
,
а также
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
= inf
w
2P
N
ν
(
S
)
k
γ
0
u
−
w
k
H
1
/
2
(
S
)
.
Поэтому из (20)
может быть получено соотношение
ε
N
ν
(
u
) = inf
v
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
k
u
−
v
k
H
1
(Ω)
'
'
inf
v
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
γ
0
u
−
γ
0
v
H
1
/
2
(
S
)
=
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
,
(22)
где
w
=
γ
0
v
с учетом определения аппроксимационного простран-
ства (8), связанного со сплайнами. Выражение (22) эквивалентно (21).
Постоянные
c
1
и
c
2
определены константами неравенств вложения со-
ответствующих пространств.
H
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
