выбраны достаточно большими для того, чтобы каждое из мелких от-
верстий, исключенных из области, содержалось строго внутри одного
суперэлемента.
Каждая базисная функция МКСЭ
Φ
i
(
x
)
единообразно задана в ка-
ждом суперэлементе
Ω
k
и является решением задачи Дирихле следу-
ющего вида [2–5]:
−
ΔΦ
i
= 0
в
Ω
k
;
(3)
Φ
i
=
ϕ
i
на
S
k
≡
∂
Ω
k
,
(4)
где граничные базисные функции
ϕ
i
,
заданные на границе суперэле-
мента
S
k
,
принимают значения
ϕ
i
(
P
j
) =
δ
ij
, i
= 0
, . . . , n,
(5)
в узлах суперэлемента
P
j
,
j
= 1
, . . . , n
, включая возможную грани-
цу отверстия в данном суперэлементе, обозначенную через
P
0
;
δ
ij
— символ Кронекера. Узлы
P
j
с индексами
j
= 1
, . . . , n
расположе-
ны только на границе суперэлемента — на его ребрах и в углах. С
узлов на ребра границы суперэлемента функции
ϕ
i
продолжаются не-
которым стандартным интерполянтом — полиномиальным, кусочно-
линейным, сплайн-интерполянтом и т.д. Предполагается, что функции
ϕ
i
(
x
)
, ϕ
j
(
x
)
,
определенные на одном и том же ребре соседних супер-
элементов
Ω
k
и
Ω
m
,
совпадают, т.е.
ϕ
i
(
x
) =
ϕ
j
(
x
)
, x
2
S
k
∩
S
m
,
(6)
для всех
S
k
∩
S
m
6
= 0
и всех соседних суперэлементов
Ω
k
,
Ω
m
8
k, m
.
Отметим, что сингулярности задачи в окрестностях отверстий
учтены посредством базисной функции с нулевым индексом
Φ
0
(
x
)
в
каждом суперэлементе. Остальные функции
Φ
i
(
x
)
, i
6
= 0
,
при нали-
чии отверстия в суперэлементе
Ω
k
обращаются в нуль на его границе
согласно (5). Если в суперэлементе отверстия нет, то
Φ
0
(
x
)
≡
0
.
Решение задачи внутри каждого отдельного суперэлемента будем
искать при помощи построенного базиса
ˉ
u
(
x
) =
n
X
i
=0
a
i
Φ
i
(
x
)
, x
2
Ω
k
.
(7)
Таким образом определено приближенное решение МКСЭ
ˉ
u
(
x
)
во
всей расчетной области
Ω =
∪
k
Ω
k
.
Решение
ˉ
u
(
x
)
должно удовлетво-
рять главному граничному условию (2) на
∂
Ω
ˉ
u
(
P
i
) =
g
(
P
i
)
,
8
P
i
2
∂
Ω
.
Неизвестные значения
a
i
разложения (7) определены с помощью схе-
мы метода Бубнова–Галеркина при выборе функций
Φ
i
(
x
)
в качестве
базисных и пробных [3–7].
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
