Погрешностью метода на классе
H
R
(Ω)
назовем величину [10,
17, 18]
δ
N
ν
H
R
(Ω) = sup
u
2
H
R
(Ω)
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1
(Ω)
.
(16)
Согласно [10, 17] считаем, что метод
имеет насыщение
(
насыщаем
)
на классах
H
R
(Ω)
, R >
1
,
если существует
R
0
,
для которого
1)
lim
N
→∞
sup
u
2
H
R
(Ω)
u
−
π
N
ν
u
H
1
(Ω)
= 0
при
R
≤
R
0
;
2)
sup
u
2
H
P
(Ω)
u
−
π
N
ν
u
H
1
(Ω)
=
o
( sup
u
2
H
R
(Ω)
u
−
π
N
ν
u
H
1
(Ω)
)
при
R < P
≤
R
0
;
3) при
R
0
< R
существуют
u
2
H
R
(Ω)
и не зависящая от
ν
констан-
та
c >
0
,
такая, что
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1
(Ω)
≥
c
∙
sup
u
2
H
R
0
(Ω)
u
−
π
N
ν
u
H
1
(Ω)
.
Характерным свойством МКСЭ является возможность рассмотре-
ния задачи (1)–(2) в некотором подпространстве энергетического про-
странства
H
1
(Ω)
H
1
(Ω)
.
Оно снабжено дополнительным свойством
гармоничности функций в каждом из суперэлементов
Ω
k
в отдель-
ности:
H
1
(Ω) =
=
v
2
H
1
(Ω) :
−
Δ
v
(
x
)=0
, x
2
Ω
k
,
для всех
Ω
k
, k
= 1
, . . . , K
E
.
(17)
Аппроксимирующее пространство МКСЭ (8) является подпростран-
ством данного пространства. Определение
H
1
(Ω)
включает в себя
условие (10):
γ
0
S
v
=
γ
0
S
k
v
=
γ
0
S
m
v
почти всюду на
S
k
∩
S
m
,
(18)
для всех
S
k
∩
S
m
6
= 0
и всех соседних суперэлементов
Ω
k
,
Ω
m
8
k, m
.
Перепишем определение (17) в эквивалентном виде:
H
1
(Ω)=
n
v
:
γ
0
v
2
H
1
/
2
(
S
)
,
−
Δ
v
(
x
)=0
, x
2
Ω
k
,
для всех
Ω
k
,
таких, что
γ
0
S
v
=
γ
0
S
k
v
=
γ
0
S
m
v
почти всюду на
S
k
∩
S
m
6
= 0
,
k, m
= 1
, . . . , K
E
o
.
(19)
Исследования настоящего раздела базируются на существовании
изоморфизма между пространствами
H
1
(Ω)
и
H
1
/
2
(
S
)
,
описанно-
го ниже. Можно утверждать однозначное соответствие между про-
странством всех гармонических функций из
H
1
(Ω
k
)
и пространством
H
1
/
2
(
S
k
)
их следов на границе
S
k
с эквивалентностью соответству-
ющих норм. Однозначное отображение устанавливается посредством
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
9
