ε
N
ν
(
u
)
сверху, получив таким образом и оценку погрешности МКСЭ
(см. (13)), необходимо оценить величину наилучшего приближения
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
. Далее мы так и поступим. Основным рабочим простран-
ством выступит пространство
H
1
/
2
(
S
)
всех следов функций из
H
1
(Ω)
.
В том случае, когда искомая функция
u
2
H
R
(Ω)
с целочисленным
индексом
R
= 1
,
2
, . . .
, показатель гладкости следа
γ
0
u
изменяется
в пределах соболевских пространств с дробными индексами на всех
гладких частях границы
I
kl
по отдельности так, что
γ
0
u
2
H
r
(
S
)
,
r
= 1
/
2
,
3
/
2
, . . .
Для гладкого искомого решения нам понадобится и
соотношение (23):
u
2
H
R
(Ω)
H
R
(Ω)
.
Следующее утверждение справедливо как следствие соотношений
(25) и определений насыщаемости для
H
R
(Ω)
,
H
R
(Ω)
.
Утверждение 2.
Если МКСЭ насыщаем на классах
H
R
(Ω) (
в норме
пространства
H
1
(Ω))
, то он насыщаем и на классах Соболева
H
R
(Ω)
.
Далее в настоящем разделе след функции
γ
0
u
2
H
r
(
S
)
на
S
(т.е.
ограничение
u
на границу
S
) будем обозначать символом
u
вместо
γ
0
u
для большей наглядности выкладок, т.е. полагаем, что некоторый
элемент
u
определен только на
S
и
u
2
H
r
(
S
)
.
Доказательство насыщаемости МКСЭ. Оценки погрешностей
для
ν
≥
r
−
1
.
Докажем насыщаемость МКСЭ на классах
H
r
(
S
)
в
пространстве
H
1
/
2
(
S
)
, r >
1
/
2
.
Аппроксимация задачи проводится
пространством
ˉ
V
N
ν
(Ω)
МКСЭ, связанном с лагранжевыми сплайнами
P
N
ν
(
S
)
на равномерной сетке.
Запишем неравенство Лебега [18]:
ε
N
ν
(
u
)
1/2
≤
δ
N
ν
(
u
)
1/2
≤
1 +
π
N
ν
ε
N
ν
(
u
)
1/2
,
(26)
где
δ
N
ν
(
u
)
1/2
=
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1/2
(
S
)
— ошибка интерполяции в про-
странстве
H
1/2
(
S
)
;
ε
N
ν
(
u
)
1/2
— величина наилучшего приближения.
Отсюда следует
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
≤
δ
N
ν
H
r
≤
1 +
π
N
ν
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
,
(27)
где
δ
N
ν
H
r
— погрешность метода на классе
H
r
. При этом нужно отме-
тить, что
π
N
ν
совпадает с
k
π
ν
k
и не зависит от
N
.
Рассмотрим верхнюю оценку (27). Задача получения оценки
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
сводится к оценке величины наилучшего приближе-
ния полиномами порядка не выше
ν
на элементарном отрезке разбие-
ния
I
k
:
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
= sup
I
k
sup
u
2
H
r
(
I
k
)
ε
ν
(
u
)
1/2
,
S
=
K
E
Y
j
=1
S
j
,
S
j
=
[
k
I
k
,
(28)
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
