где
ε
ν
(
u
)
1/2
= inf
v
2P
ν
(
I
k
)
k
u
−
v
k
H
1/2
(
I
k
)
— величина наилучшего при-
ближения полиномами порядка не выше
ν
в пространстве
H
1/2
(
I
k
)
.
Оценим величину
ε
ν
(
u
)
1/2
, u
2
I
k
.
Далее будем обозначать
I
=
I
k
,
опуская индекс.
Хорошо известно неравенство Джексона для оценки наилучшего
приближения алгебраическими полиномами. Классическое неравен-
ство выведено для
u
2
C
(
I
)
[21, 22]. Используются также его обобще-
ния на пространства Соболева
H
K
(
I
)
с целочисленными индексами
K
2
Z
[17]. При этом рассматривается норма пространств
C
(
I
)
и
L
2
(
I
)
соответственно. Возможность обобщения неравенства на дроб-
ные пространства Соболева мало освещена в литературе. Докажем
неравенство типа неравенства Джексона для оценки величины наи-
лучшего приближения алгебраическими полиномами при
u
2
H
r
(
I
)
,
r
= 3/2
,
5/2
, . . . ,
в пространстве
H
1/2
(
I
)
.
Для этого воспользуемся элементами теории интерполяционных
пространств (в частности, выписанные ниже результаты получены
при помощи K-метода Петре [23, 24]). Опорной точкой будет служить
уже известная оценка величины наилучшего приближения
ε
ν
(
u
)
L
2
для
функции
u
2
H
R
(
I
)
,
R >
0
,
R
2
Z
,
из пространства Соболева с целы-
ми индексами в пространстве
L
2
(
I
)
.
Применяя элементы теории ин-
терполяционных пространств, получим оценку величины наилучшего
приближения для дробных пространств Соболева
u
2
H
r
(
I
)
,
лежащих
между
L
2
(
I
)
и
H
R
(
I
) : 0
< r < R.
Таким образом, искомая оценка бу-
дет получена для любого дробного соболевского пространства
H
r
(
I
)
,
r >
0
, при прочих условиях, необходимых для утверждения справед-
ливости исходной классической оценки.
Утверждение 3.
Пусть
ν
≥
r
−
1
.
Для любой функции
u
2
H
r
(
I
)
,
r >
1
/
2
, r
2
R
, I
R
1
,
справедлива оценка
ε
ν
(
u
)
1/2
≤
c
1
/
2
M
1
/
2
r
M
1
/
2
r
−
1
1
(
ν
+ 1)
r
−
1
/
2
|
I
|
r
|
u
|
H
r
(
I
)
,
где константы
M
r
,
M
r
−
1/2
зависят только от
r
. Через
|
I
|
обозначена
длина отрезка
I
.
H
1. Для начала введем необходимые определения.
Запишем определение K-функционала:
8
t >
0
K
(
u, t
) =
K
(
u, t
;
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)) = inf
g
2
H
R
h
k
u
−
g
k
L
2
(
I
)
+
t
|
g
|
H
R
(
I
)
i
.
Он позволяет определить набор интерполяционных пространств
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)
θ
с индексом
0
< θ <
1
следующим образом.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
13
