Анализ вычислительной точности МКСЭ выполнен в работах
[5, 6]. Предложены различные варианты метода и подтверждена его
расчетная эффективность для задач, содержащих резкие особенности
в расчетной области как в двумерном, так и в трехмерном случаях.
В работах [3, 4] проведено теоретическое исследование МКСЭ,
которое позволяет строить аппроксимации метода для широкого кру-
га задач математической физики. Исследования опираются на общую
запись формулы Грина и охватывают слабые решения класса задач,
описываемых линейными эллиптическими уравнениями. Установле-
на связь аппроксимаций МКСЭ с проекционными методами и пока-
зано, что для сходимости метода на пространстве слабых решений
необходимо и достаточно сходимости аппроксимаций, задаваемых в
пространстве их следов на границах разбиения.
Большой интерес представляет вывод оценок погрешностей МКСЭ
Федоренко и качественный анализ его аппроксимационных свойств. В
настоящей работе получены априорные оценки погрешностей в шка-
ле пространств Соболева
H
R
(Ω)
. Этот вопрос связан с получением
аппроксимантов повышенного порядка в МКСЭ и предполагает ис-
следование сильных (и гладких) решений задачи. Установлена насы-
щаемость и получены точные оценки погрешностей в пространствах
Соболева, выведены погрешности численного решения на соболев-
ских классах функций. Исследование проведено на примере задачи
Дирихле (1)–(2) в двумерном случае. Предложенный подход может
быть распространен на класс общих линейных эллиптических задач.
В заключение рассмотрен пример использования МКСЭ для задачи
численного расчета распределения электрического потенциала.
Основные определения.
Ниже получены априорные оценки по-
грешностей метода в норме пространства
H
1
(Ω)
[8]. Интерес пред-
ставляет адаптация аппроксимаций МКСЭ для разрешения задач, к
которым предъявлены повышенные требования гладкости в естествен-
ной для них шкале пространств Соболева
H
R
(Ω)
, R
≥
1
[8]. Индекс
R
2
Z
используем для целых значений показателя гладкости и
s
2
R
либо
r
2
R
— при вещественных. Исследование проведено в пред-
положении достаточной гладкости функции граничного условия
g
и
границы области
∂
Ω
для того, чтобы искомое решение принадлежало
пространству Соболева
H
R
(Ω)
[9]. Далее использованы следующие
обозначения:
Ω
— расчетная область;
S
k
— граница суперэлемента
Ω
k
;
S
=
∪
k
S
k
— совокупность всех суперэлементных границ;
u
— искомое
и
ˉ
u
— приближенное решение МКСЭ.
Внешняя граница суперэлемента
Ω
k
, обозначенная символом
∂
Ω
k
или
S
k
, принадлежит классу
C
0
гладкости. При этом допустимо рас-
сматривать лишь тот случай, когда
S
k
— многоугольная граница, либо
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
5
