Интерполяционным пространством
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)
θ
,
0
< θ <
1
,
назовем множество всех таких
u
2
L
2
(
I
)
,
что величина
|
u
|
(
L
2
(
I
)
,H
R
(
I
))
θ
=
∞
Z
0
t
−
θ
K
(
u, t
)
2
dt
t
1/2
(29)
конечна.
Введенный K-функционал будет полезен в дальнейшем, поскольку
описание интерполяционных пространств
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)
θ
получено в
теории интерполяции, а пара
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)
является одной из клас-
сических. Такая характеристика выражается следующим простым ра-
венством [23, 24]:
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)
θ
=
H
θR
,
(30)
т.е. пространство
L
2
(
I
)
, H
R
(
I
)
θ
совпадает с
H
θR
(
I
)
, а нормы в них
эквивалентны.
Введем в рассмотрение отрезок
I
0
единичной длины. Отметим,
что справедливы следующие соотношения при переходе от отрезка
I
0
= [0
,
1]
к
I
= [0
,
|
I
|
] :
|
u
|
H
r
(
I
o
)
=
|
I
|
r
−
1/2
|
u
|
H
r
(
I
)
;
k
u
k
L
2
(
I
o
)
=
|
I
|
−
1/2
k
u
k
L
2
(
I
)
.
Это проверяется непосредственной подстановкой вида
t
=
|
I
|
x
и
интегрированием выражений
|
u
|
H
r
(
I
)
,
k
u
k
L
2
(
I
)
с учетом того, что
|
u
|
H
r
(
I
)
=
u
(
r
)
L
2
(
I
)
(см. также [17]).
2. Рассмотрим величину наилучшего приближения в пространстве
L
2
(
I
0
)
ε
ν
(
u
)
L
2
= inf
v
2P
ν
(
I
0
)
k
u
−
v
k
L
2
(
I
0
)
.
Запишем для нее известное неравенство Джексона в
L
2
(
I
0
)
при
u
2
H
R
(
I
0
)
, R
2
Z
[17]. При
ν
≥
R
−
1
ε
ν
(
u
)
L
2
≤
A
R
1
(
ν
+ 1)
R
|
u
|
H
R
,
R >
0
,
R
2
Z
,
A
R
=
A
R
(
R
)
.
(31)
Для упрощения записи обозначим далее
n
=
ν
+ 1
.
3. Если
w
— элемент наилучшего приближения некоторой функции
g
из
P
ν
(
I
0
)
, то из (31) и определения K-функционала следует
ε
n
−
1
(
u
)
L
2
≤ k
u
−
w
k
L
2
≤ k
u
−
g
k
L
2
+
k
g
−
w
k
L
2
≤
≤ k
u
−
g
k
L
2
+
A
R
1
n
R
|
g
|
H
R
≤
C
∙
K
(
u, n
−
R
)
.
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
