Решение системы уравнений (1) ищем в форме бегущих плоских
гармонических волн вида
~a
=
~a
0
exp(
i
(
~k
∙
~r
−
ωt
))
,
(2)
где
~a
0
— постоянная амплитуда;
~k
— волновой вектор;
~r
— радиус-
вектор точки наблюдения;
ω
— круговая частота;
t
— время. Волно-
вой вектор
~k
считается постоянной векторной величиной. Система
уравнений (1) переходит в алгебраическую систему для комплексных
амплитуд (или мгновенных физических величин)
i~k
∙
~D
=
ρ
;
(3)
i~k
∙
~B
= 0;
(4)
i~k
×
~E
=
iω ~B
;
(5)
i~k
×
~H
=
~j
−
iω ~D.
(6)
Материальные уравнения (1) не меняют своей формы.
Следствием предположения о том, что материальная среда рассма-
тривается как однородная и изотропная, а материальные уравнения
среды линейны, является обращение в нуль объемной плотности сто-
ронних электрических зарядов:
ρ
= 0
.
(7)
Система уравнений (3)–(6) становится однородной, нетривиальное
решение которой возможно только при выполнении дисперсионного
уравнения
~k
∙
~k
=
ω
2
n
2
c
2
(1 +
iα
)
, c
=
1
√
ε
0
μ
0
, n
=
√
εμ, α
=
γ
ωεε
0
,
(8)
где
c
— скорость распространения электромагнитной волны в вакуу-
ме;
n
— действительный показатель преломления материальной сре-
ды;
α
— безразмерный параметр проводимости среды. Отметим, что
дисперсионное уравнение (8) имеет место при выполнении условия
обобщенной поперечности электромагнитной волны:
~k
∙
~E
= 0;
~k
∙
~H
= 0
.
(9)
В рассматриваемом случае условия (9) выполняются. Форма диспе-
рсионного уравнения (8) приводит к необходимости рассматривать
волновой вектор
~k
как комплексный:
~k
=
~q
+
i~p,
(10)
где векторные величины
~q
и
~p
— действительные векторные величины,
не обязательно совпадающие друг с другом по направлению в про-
странстве. Вектор
~q
перпендикулярен плоскости равных фаз, а вектор
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
