решению начальных приближений, иначе, как правило, итерационный
процесс прекращается в локальном минимуме.
Сведем систему (2) к линейной путем расширения базиса, для чего
в заданном секторе введем сетку по
˜
θ
0
= [
θ
0
1
, θ
0
2
, . . . , θ
0
N
]
. Тогда опре-
делению подлежат только амплитуды
z
, соответствующие элементам
сетки
˜
θ
0
i
[4, 5]:
u
(
t
i
) =
A
˜
θ
0
z
(
t
i
) +
n
(
t
i
)
.
(3)
Тем самым сразу решается задача о числе ИРИ в заданном секторе.
Размерность вектора
z
определяется шагом дискретизации по углу
пеленгации.
Задача (3) — некорректная, так как сколь угодно малые изменения
исходных данных могут приводить к произвольно большим измене-
ниям решений. Некорректность задач объясняется тем, что уравнения,
описывающие поведение систем, — “близки”, для систем линейных
алгебраических уравнений это выражается большим отношением зна-
чений максимального и минимального собственных чисел матрицы
A
т
A
. Обратная матрица
(
A
т
A
)
−
1
ведет себя как фильтр верхних частот
с высоким коэффициентом усиления, и сколь угодно малые отклоне-
ния в компонентах вектора
u
могут приводить к сколь угодно большим
изменениям вектора решения
z
.
Пользуясь понятием регуляризующего функционала и считая его
частным случаем метода взвешенных сумм для задачи векторной опти-
мизации, имеем две целевые функции, которые требуется одновремен-
но минимизировать на некотором множестве
D
, определяемом усло-
вием
u
=
Az
(векторный критерий):
J
1
(
z
) =
k
Az
−
u
k
2
2
→
min;
J
2
(
z
) =
k
z
k
p
p
→
min
,
0
< p <
∞
.
(4)
В данной формулировке это задача двухкритериальной оптимизации.
Чтобы сформировать вторую целевую функцию для задачи двух-
критериальной оптимизации, требуется определить вид сглаживаю-
щего функционала
J
2
(
z
)
. При дискретизации по углу пеленгации
θ
0
получают разреженный вектор решения
z
, большинство компонент ко-
торого равны нулю. Для такого решения целесообразно использовать
l
p
-регуляризацию [5, 6]:
J
2
(
z
) =
k
z
k
p
p
, в частности при
p
= 1
имеем
J
2
(
z
) =
N
X
i
=1
|
z
i
|
.
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
