Пример 1.
Рассмотрим решение задачи (6a), т.е. функционал
J
2
(
z
)
переведен в ограничения. При неотрицательных компонентах вектора
z
имеем задачу квадратичного программирования, методы решения
которой хорошо разработаны [7, 8]:
J
1
(
z
) =
k
Az
−
u
k
2
2
→
min
z
;
J
2
(
z
) =
k
z
k
1
6
δ
=
J
2опт
(
z
) = 23
,
94;
z
2
D, z
>
0
,
где
δ
— некоторая априорная оценка нормы решения (например, мак-
симальная мощность сигнала, на которую рассчитан приемник). Ре-
зультат решения задачи квадратичного программирования приведен
на рисунке (
б
). Шаг по
θ
0
выбран равным
1
,
82
◦
.
Точечные оценки решения (
ˆ
z
1
и
ˆ
z
2
— амплитуды сигналов, имею-
щих пеленг
ˆ
θ
0
1
и
ˆ
θ
0
2
соответственно) равны:
ˆ
z
1
= 7
,
62
мВ;
ˆ
θ
0
1
= 55
,
80
◦
;
ˆ
z
2
= 7
,
58
мВ;
ˆ
θ
0
2
= 127
,
80
◦
.
Ограничение на неотрицательность переменных было введено ис-
ходя из физического смысла задачи — амплитуды сигналов по опреде-
лению не могут быть отрицательными. Если это ограничение снять,
то результат решения окажется хуже — появятся дополнительные “шу-
мовые” пики. Поэтому условие
z
>
0
всегда будем использовать в
дальнейшем. Методы регуляризации этого сделать не позволяют.
Пример 2.
Рассмотрим задачу (6в). Из двух функционалов
J
1
(
z
) =
=
k
Az
−
u
k
2
2
и
J
2
(
z
) =
k
z
k
p
p
функционал
J
1
(
z
)
переводится в ограни-
чения, что приводит к задаче нелинейного программирования [9–11]:
J
2
(
z
) =
k
z
k
p
p
→
min
z
;
J
1
(
z
) =
k
Az
−
u
k
2
2
6
ε
=
J
1опт
(
z
) = 10
,
86;
z
2
D, z
>
0
,
где параметр
ε
позволяет учитывать шум, присутствующий в компо-
нентах вектора
u
. Примем
ε
= 3
σ
√
M
. Для
p
= 1
и шага
Δ
θ
0
= 1
,
21
◦
получены следующие точечные оценки решения (см. рисунок (
в
)):
ˆ
z
1
=
= 8
,
60
мВ;
ˆ
θ
0
1
= 56
,
36
◦
;
ˆ
z
2
= 11
,
60
мВ;
ˆ
θ
0
2
= 128
,
49
◦
.
Воспользуемся для решения той же задачи методом целевого про-
граммирования. При этом возможны два подхода: архимедова модель
и модель с приоритетами [12]. Выбор значений
δ
и
ε
аналогичен их
определению в задачах квадратичного и нелинейного программирова-
ния.
Пример 3.
Архимедова модель
. Bсе целевые функции переводятся
в ограничения и осуществляется максимизация взвешенной суммы
меры их отклонений от ограничений:
max
d
1
, d
2
(
w
1
d
1
+
w
2
d
2
)
при
J
1
(
z
) +
d
1
6
ε, J
2
(
z
) +
d
2
6
δ,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
95
