Рассмотрим случай, когда функционалы
J
1
и
J
2
переведены в огра-
ничения (метод пороговой оптимизации), т.е.
min
z
N
X
i
=1
|
z
i
ln
z
i
|
при
k
Az
−
u
k
2
2
6
ε,
k
z
k
1
6
δ.
Поскольку
ln 0
не существует, то в качестве нижней границы для
u
i
выбрано значение 0,01, т.е.
z
i
>
0
,
01
. Результат решения приведен
на рисунке,
е
, шаг
Δ
θ
0
= 0
,
81
◦
. Получены точечные оценки решения:
ˆ
z
1
= 6
,
61
мВ;
ˆ
θ
0
1
= 55
,
96
◦
;
ˆ
z
2
= 11
,
91
мВ;
ˆ
θ
0
2
= 128
,
49
◦
.
Пример 6.
Рассмотрим случай, когда приходит один сигнал с ам-
плитудой 5 мВ, пеленгом
55
◦
и углом места
30
◦
. В линейной АС, со-
стоящей из 16 вибраторов, сдвинем последний вибратор в сторону на
60
◦
— угол между вертикальной плоскостью линейной АС и верти-
кальной плоскостью, проведенной через фазовый центр и смещенный
вибратор. По-прежнему считаем, что на вектор
u
действует аддитив-
ная помеха c нулевым математическим ожиданием и СКО
σ
= 0
,
5
мВ.
При решении методами нелинейного программирования приходим к
системе
cos
θ
cos
β
= 0
,
5;
cos (
θ
+
γ
) cos
β
=
−
0
,
3746
.
(8)
Решая систему (8), получаем искомые пеленг
ˆ
θ
= 55
,
27
◦
и угол
места
ˆ
β
= 28
,
65
◦
.
Для определения ковариационной матрицы оценок, а иногда и для
уточнения точечных оценок, полученных методами математического
программирования, можно использовать исходную нелинейную систе-
му уравнений (2), взяв в качестве начального приближения найденные
точечные оценки решения. Такое начальное приближение близко к
оптимальному решению и приводит в точку глобального минимума.
Действительно, поскольку на вектор
u
действует аддитивный гауссов
шум с СКО, равным
σ
, и нулевым математическим ожиданием, то
u
подчиняется многомерному нормальному закону распределения вида
f
(
u
) =
1
(2
πσ
2
)
M/
2
e
u
−
A
(
θ
0
)
z
√
2
σ
2
2
,
где
A
(
θ
0
)
z
— математическое ожидание вектора
u
. Объединим эту ин-
формацию в виде функции правдоподобия. Вычислив матрицу, обрат-
ную матрице вторых производных логарифма функции правдоподобия
при найденных точечных оценках решения системы (3), согласно ра-
боте [3] можно найти ковариационную матрицу решений. Например,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
97
