Нетрудно видеть, что
λ
0
j
=
λ
j
(
d
j
, t
)
,
j
= 1
, . . . , m
. Обозначим через
λ
= (
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
)
точку, в которой достигается максимум (1) для
ММП.
Теорема 1.
Если в решении
λ
0
задачи для МП при некотором индек-
се
l
2
(1
,
2
, . . . , m
)
выполняется неравенство
λ
0
l
>
λ
0
l
+1
, то в решении
λ
задачи для ММП выполняется равенство
λ
l
=
λ
l
+1
.
Доказательство.
Предположим противное:
λ
l
< λ
l
+1
(4)
(в силу ограничений задачи не может быть
λ
l
> λ
l
+1
)
. Отметим, что
неравенство
λ
0
l
> λ
0
l
+1
эквивалентно неравенству
λ
l
(
d
l
, γ
0
)
> λ
l
+1
(
d
l
+1
, γ
0
)
.
(5)
Далее, в силу ограничений задачи должны выполняться неравенства
λ
l
6
λ
l
(
d
l
, γ
0
)
, λ
l
+1
6
λ
l
+1
(
d
l
+1
, γ
0
)
.
(6)
Из (4)–(6), в свою очередь, следуют неравенства
λ
l
< λ
l
+1
6
6
λ
l
+1
(
d
l
+1
, γ
0
)
< λ
l
(
d
l
, γ
0
)
. Тем самым, величина
λ
l
одновремен-
но удовлетворяет двум неравенствам
λ
l
< λ
l
+1
и
λ
l
< λ
l
(
d
l
, γ
0
)
. Это
означает, что из точки
ˉ
λ
можно сдвинуться в пространстве параме-
тров, не нарушая ограничений задачи для ММП, так, что значение
целевой функции увеличится. Зафиксируем все координаты точки
λ
с индексами
j
6
=
l
, а
l
-й координате
λ
l
дадим приращение
ε >
0
, где
ε <
min[
λ
l
+1
−
λ
l
,
ˉ
λ
l
(
d
l
, γ
0
)
−
λ
l
]
. Новая точка
ˉ
λ
с координатами
λ
j
=
λ
j
,
j
6
=
l
, и
λ
l
=
λ
l
+
ε
по-прежнему удовлетворяет всем
ограничениям задачи для ММП, но значение целевой функции в этой
точке строго больше, чем в исходной точке
λ
. Тем самым предполо-
жение (4) приводит к тому, что
λ
не может быть точкой, в которой
достигается максимум в задаче для ММП, что противоречит условию
теоремы. Таким образом, должно выполняться равенство
λ
l
=
λ
l
+1
.
Теорема доказана.
В соответствии с теоремой 1 численное нахождение доверитель-
ной границы для ММП сводится к не более чем
m
-кратному решению
значительно более простой задачи для обычного МП, (каждый раз раз-
мерности, меньшей на единицу). Соответствующий численный алго-
ритм строится следующим образом. На первом шаге решается задача
для обычного МП. Если полученное решение
λ
0
удовлетворяет огра-
ничениям (3), то оно одновременно дает решение и для ММП. Если
это не так, то находим первый индекс
l
, для которого
λ
l
> λ
l
+1
. Да-
лее при решении задачи полагаем
λ
l
=
λ
l
+1
и возвращаемся к началу
алгоритма; снова решаем аналогичную задачу (меньшей размерности)
сначала для обычного МП и так далее до тех пор, пока на некотором
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
63
