f
(
λ
α
, t
) =
f
(
λ , t
) +
α
m
X
j
=1
n
j
c
j
=
f
(
λ , t
) +
α
(
n
l
c
l
+
n
l
+1
c
l
+1
) =
=
f
(
λ , t
) +
α
q
V
−
2
l
+
V
−
2
l
+1
c
l
V
l
+
c
l
+1
V
l
+1
,
откуда с учетом (9) следует, что
f
(
λ
α
, t
)
>
f
(
λ , t
)
(10)
при любом
α >
0
. В частности, полагая
α
=
k
λ
00
−
λ
k
, получаем из
(9), (10)
λ
α
=
λ
00
и
f
(
λ
00
, t
)
>
f
(
λ , t
)
, что доказывает теорему.
Как видно из доказательства теоремы 1, если максимум в (9) стро-
гий, то в условиях теоремы равенство
λ
l
=
λ
l
+1
есть необходимое
условие максимума в задаче для ММПЛ. Если максимум в (9) нестро-
гий, то максимум в задаче для ММПЛ также может быть нестрогим,
но при этом равенство
λ
l
=
λ
l
+1
обязательно выполняется по крайней
мере в одной из точек указанного максимума.
Отметим, что если обычный МПЛ допускает простое аналитиче-
ское решение, то более точный ММПЛ требует численного решения.
На основе теоремы 2 далее легко может быть построен простой чи-
сленный алгоритм для ММПЛ, который сводится к не более чем
m
-
кратному решению задачи для обычного МПЛ. На первом шаге реша-
ем задачу для обычного МПЛ (т.е. без дополнительных ограничений
(6)). Если соответствующее решение
λ
0
удовлетворяет всем ограниче-
ниям (5), (6), то
λ
0
одновременно является решением и для ММПЛ,
Если это не так, то находим индекс
l
, для которого
λ
0
l
> λ
0
l
+1
, после
чего при решении задачи полагаем
λ
l
=
λ
l
+1
и возвращаемся к началу
алгоритма, решая соответствующую задачу размерности, меньшей на
единицу, и т.д. При этом решение задачи, очевидно, будет получено не
более чем за
m
шагов. Соответственно вычислительная трудоемкость
приведенного численного алгоритма возрастает не более чем линей-
но при увеличении размерности задачи (числа различных режимов)
m
. Как показывают приводимые далее примеры, полученные выше
методы позволяют получить значительный выигрыш при доверитель-
ном оценивании функции надежности системы
P
с
(
t
)
в переменном
режиме.
Пример 1.
Число различных режимов равно
m
= 10
. Моменты пе-
реключения режимов
τ
j
, число поставленных на испытание элементов
N
j
, время испытания
T
j
, наблюдаемое число отказов
d
j
и результаты
испытаний даны в табл. 1. Графики соответствующих нижних довери-
тельных границ
P
ˉ
с
(
t
)
для функции надежности в переменном режиме
(с коэффициентом доверия
γ
= 0
,
9)
, рассчитанные с помощью указан-
ных выше методов, приведены на рис. 1.
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
