Доказательство
. Предположим противное:
λ
l
< λ
l
+1
(в силу
ограничений задачи не может быть
λ
l
> λ
l
+1
)
. Покажем, что тогда
из точки
λ
можно сдвинуться в пространстве параметров (не нару-
шая ограничений задачи) так, что значение целевой функции
f
(
λ, t
)
увеличится. Далее будем использовать сокращенное обозначение:
V
j
=
N
j
T
j
— объем испытаний в
j
-м режиме. Заметим, что в силу
монотонности функции
f
(
λ, t
)
максимум (1) заведомо достигается
среди точек, лежащих на “плоскости” (в
m
-мерном пространстве)
вида
m
P
j
=1
V
j
λ
j
=
A
. Таким образом, точка
λ
принадлежит указанной
“плоскости”. Введем точку
λ
00
= (
λ
00
1
, λ
00
2
, . . . , λ
00
m
)
, также лежащую
на этой “плоскости” такую, что
λ
00
j
=
λ
j
при всех
j
6
=
l, l
+ 1
и
λ
00
l
=
λ
00
l
+1
=
A
−
l
−
1
P
j
=1
V
j
λ
j
−
m
P
j
=
l
+2
V
j
λ
j
(
V
l
+
V
l
+1
)
−
1
. Отметим, что точ-
ка
ˉ
λ
00
по-прежнему удовлетворяет всем ограничениям (7)–(8). Введем
направляющий вектор
n
= (
n
1
, n
2
, . . . , n
m
)
единичной длины
k
n
k
= 1
с координатами
n
j
= 0
при
j
6
=
l, l
+ 1
и
n
l
=
V
l
+1
/
q
V
2
l
+
V
2
l
+1
,
n
l
+1
=
−
V
l
/
q
V
2
l
+
V
2
l
+1
. Введем коэффициенты
с
j
=
τ
j
−
τ
j
−
1
при
j
= 1
, . . . , k
−
1
,
с
k
=
t
−
τ
k
−
1
,
с
j
= 0
при
j
=
k
+1
, . . . , m
. Отметим, что
решение задачи для обычного метода МПЛ (т.е. нахождение максиму-
ма в (1), (4)) может быть записано через указанные коэффициенты в
виде
f
= max
j
=1
,...,m
c
j
V
j
=
c
l
V
l
.
(9)
Формулу (9) можно интерпретировать так. Для МПЛ нижняя довери-
тельная граница надежности системы в переменном режиме к моменту
времени
t
вычисляется как для одного
l
-го режима (при этом счита-
ем, что для него на испытаниях наблюдалось число отказов, равное
сумме отказов во всех режимах
m
P
j
=1
d
j
)
. Индекс указанного режима
l
определяется из условия
min
j
=1
,...,m
V
0
j
=
V
0
l
, где
V
0
j
=
V
j
c
j
— приведенный
объем испытаний в
j
-м режиме или, другими словами, объем испыта-
ний
V
j
=
N
j
T
j
, отнесенный к длительности этого режима (до момента
времени
t
).
Далее из точки
λ
сдвинемся по направляющему вектору
n
, т.е.
рассмотрим точку
λ
α
=
λ
+
αn
, где
α >
0
— параметр. Эта точка удо-
влетворяет всем ограничениям (5), (6) при любом
0
< α <
k
λ
00
−
λ
k
,
а значение целевой функции в ней равно
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
65
