Если известны параметры всех вортонов вихревого следа, то ско-
рость жидкости в точке наблюдения вычисляется по формуле
~V
(
~r
0
, t
) =
~V
∞
+
N
X
i
=1
~U
i
(
~r
0
, t
)
.
(2)
Давление на заданном шаге расчета в точке пространства с радиус-
вектором
~r
0
может быть найдено с использованием аналога интеграла
Коши–Лагранжа, рассмотренного в работе [7]:
p
(
~r
0
, t
) =
p
∞
+
ρ
~V
2
∞
2
−
ρ
~V
(
~r
0
, t
)
2
2
−
−
ρI
born
(
t
) +
ρ
N
X
i
=1
~V
(
~r
i
, t
)
∙
~U
i
(
~r
0
, t
)
,
(3)
где
I
born
— вклад в давление от вортонов, рожденных на текущем шаге.
В методе вихревых частиц изменение поля завихренности с тече-
нием времени складывается из движения вортонов по линиям тока,
изменения векторов завихренности вортонов, эволюции радиуса вор-
тона и процесса генерации новых вортонов.
Движение вортонов описывается системой дифференциальных
уравнений
d~r
i
dt
=
~V
(
~r
i
, t
)
, i
= 1
, . . . , N.
(4)
Изменение векторов завихренности вортонов описывает система
дифференциальных уравнений, получаемая из уравнения (1)
d~ω
i
dt
=
~Q
(
~r
i
, t
)
, i
= 1
, . . . , N.
(5)
При движении вихревого следа для выполнения теорем Кельвина
и Гельмгольца необходимо изменение радиуса вортонов. В работе [6]
предлагается метод “расплющивания ядра”. Он заключается в том, что
на шаге расчета вортон удлиняется в направлении вектора завихрен-
ности. Этот процесс описывается дифференциальными уравнениями
dL
i
dt
=
L
0
i
|
~ω
i
|
d~ω
i
dt
;
(6)
dε
i
dt
=
−
ε
i
(
t
)
2
L
0
i
dL
i
dt
,
(7)
где
L
0
i
— диаметр вортона в начале шага интегрирования,
L
i
— длина
вортона в направлении вектора завихренности в конце шага интегри-
рования.
106
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
