Задача о минимизации времени разворота в безопорной фазе дви-
жения связки двух тел имеет вид
˙
x
1
=
u
,
˙
x
2
=
k
(
x
1
)
;
(
x
1
(
0
)
=
x
0
1
;
x
2
(
0
)
=
x
0
2
;
(
x
1
(
T
)
=
x
D
1
=
l
D
;
x
2
(
T
)
=
0
;
|
u
|
6
u
m
;
T
→
min
,
(3)
где
k
(
x
1
)
=
K
C
I
+
μ
x
2
1
.
Отметим, что в силу (1) – (2)
k
(
x
1
) >
0
(4)
при любом значении
x
1
. Следовательно, при
t
>
T
система не оста-
нется в программном положении, а продолжит свое вращение относи-
тельно центра масс в положительном направлении отсчета угла
θ
.
Задача о минимизации времени разворота.
Для решения задачи
быстродействия (3) воспользуемся принципом максимума Понтрягина
[15–16]. Гамильтониан имеет вид
H
= −
1 +
ψ
1
u
+
ψ
2
k
(
x
1
).
(5)
Сопряженные переменные являются решениями уравнений
˙
ψ
1
= −
∂
H
∂
x
1
= −
ψ
2
dk
dx
1
; ˙
ψ
2
= −
∂
H
∂
x
2
=
0
.
(6)
Тогда
ψ
2
=
const
.
(7)
В соответствии с принципом максимума на оптимальной траекто-
рии достигается максимум гамильтониана по
u
. Оптимальное упра-
вление
u
=
u
m
при
ψ
1
>
0
;
не определено при
ψ
1
=
0
;
−
u
m
при
ψ
1
<
0
,
(8)
и на оптимальной траектории справедливо условие трансверсальности
H
= −
1 +
ψ
1
u
+
ψ
2
k
(
x
1
)
≡
0
.
(9)
Если
u
=
u
m
(ψ
1
>
0
)
, то
x
1
=
x
0
1
+
u
m
(
t
−
t
0
)
;
dx
2
dx
1
= ˙
x
2
˙
x
1
=
k
(
x
1
)
u
m
;
x
2
=
ϕ(
x
1
)
u
m
+
c
1
,
(10)
где
ϕ(
x
1
)
=
Z
k
(
x
1
)
dx
1
=
K
C
Z
dx
1
I
+
μ
x
2
1
=
K
C
√
I
μ
arctg
r
μ
I
∙
x
1
;
(11)
c
1
— постоянная интегрирования.
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
