Если
u
= −
u
m
(ψ
1
<
0
)
, то
x
1
=
x
0
1
−
u
m
(
t
−
t
0
)
;
x
2
= −
ϕ(
x
1
)
u
m
+
c
2
,
(12)
где
c
2
— постоянная интегрирования.
В вырожденном случае [16]
ψ
1
≡
0
в течение некоторого интервала
времени
˙
ψ
1
≡
0
. Из уравнений (6) следует
dk
dx
1
=
2
μ
x
1
(
I
+
μ
x
2
1
)
2
≡
0
,
(13)
а тогда
x
1
≡
0
и в силу соотношений (3) единственная вырожденная
фазовая траектория имеет вид
x
1
≡
0
,
u
≡
0
,
˙
x
2
=
K
C
I
=
const
>
0
,
(14)
Через программное конечное положение
(
x
D
1
,
0
)
проходят две фа-
зовые траектории. Одна из них соответствует управлению
u
=
u
m
:
0
+
=
(
(
x
1
,
x
2
)
:
x
2
=
ϕ(
x
1
)
−
ϕ(
x
D
1
)
u
m
,
x
1
<
x
D
1
)
,
а вторая — управлению
u
= −
u
m
:
0
−
=
(
(
x
1
,
x
2
)
:
x
2
=
ϕ(
x
D
1
)
−
ϕ(
x
1
)
u
m
,
x
1
>
x
D
1
)
.
(15)
Эти кривые вместе с
0
0
, соответствующей вырожденному случаю
u
≡
0
и имеющей вид
0
0
=
(
(
x
1
,
x
2
)
:
x
1
=
0
,
x
2
<
−
ϕ(
x
D
1
)
u
m
)
,
и кривой
˜
0
−
=
(
(
x
1
,
x
2
)
:
x
2
= −
ϕ(
x
D
1
)
−
ϕ(
x
1
)
u
m
,
x
1
>
0
)
делят фазовую плоскость на четыре области:
R
0
,
R
1
,
R
2
,
R
3
(рис. 2).
Утверждение 1.
Если система находится в области
R
0
, то ее не-
возможно перевести в требуемое конечное положение.
При заданном положительном значении кинетического момента
системы
K
C
>
0
невозможно перевести систему из произвольного
начального в заданное конечное положение, т.е. система неуправляема.
Доказательство этого утверждения очевидно. Ни одна из фазовых
траекторий (10), (12), (14), начинающаяся в области
R
0
, не проходит
через программное конечное положение и не покидает эту область.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
23
