Напряженность магнитного поля не изменится (см., например,
[11]), если в уравнении (2) вместо нулевого взять любое согласующее-
ся с граничными условиями для
Е
значение
φ
. При
φ
= −
(
v
,
A
)
= −
v
A
y
(в данной задаче) конвективные слагаемые в двумерном случае бу-
дут входить только в уравнения для
A
x
в рельсе. Для векторного
потенциала поставим аналогичные (3) граничные условия.
Тогда поля описываются уравнением
4
πσ (
−
D
A
/
Dt
+ [
w
,
rot
A
]
)
=
rot rot
A
−
θ(σ )
grad div
A
(4)
(здесь
w
=
u
−
v
,
w
=
0
в движущейся части — якоре).
Легко видеть, что в этом случае дивергенция решения (при
σ
=
const) с учетом начальных условий в якоре обнуляется.
Результаты численного моделирования для двумерной задачи
и преобразование разностных соотношений.
В этом случае область
состоит из проводников (якорь, рельс) и диэлектриков (области впере-
ди и позади якоря).
Схема модельной пространственной области, использованной в
расчетах, приведена на рис. 1; якорь движется в положительном на-
правлении оси
y
.
Для построения разностных схем в области вводится простран-
ственная сетка. Дискретный аналог векторного потенциала относится
к ребрам ячеек сетки (в нашем случае к центрам ребер), напряжен-
ность магнитного поля — к их граням. Подробности математической
модели и вычислительного алгоритма приведены в работах [1, 12].
Разностные схемы записываются для безразмерных величин.
Задача решается на разностных сетках с различным числом ячеек
в диэлектрической подобласти: 1)
N
x
=
10 + 10
,
N
y
=
10 + 10 + 10
;
2)
N
x
=
20 + 10
,
N
y
=
20 + 10 + 10
; 3)
N
x
=
40 + 10
,
N
y
=
40 + 10 + 10
.
Здесь
N
x
— сумма числа ячеек вдоль оси
x
в подобластях диэлектрика и
рельса,
N
y
— сумма числа ячеек вдоль оси
y
в подобластях диэлектрика
перед якорем, якоря и диэлектрика — после якоря.
При переходе с одного временного слоя на другой используются
внешние и внутренние итерации (подробнее они описаны дальше).
Для решения системы линейных алгебраических уравнений на вну-
тренних итерациях используется метод сопряженных градиентов со-
вместно с неполным разложением Xолесского [13–15].
В работе [1] отмечалось отсутствие гладкости составляющей век-
торного потенциала
A
y
в диэлектрике при наличии движения в си-
стеме. Для исследования влияния на точность решения особенности,
вызванной наличием именно конвективных слагаемых, будем исследо-
вать процессы с постоянной электропроводностью в проводящей под-
области. Начальная скорость и другие параметры (входной (полный)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
49
