бой совокупность микро- и наноструктурных элементов и называе-
мых структурно-чувствительными, является построение математиче-
ских моделей теплопроводности и деформирования этих материалов.
В работе [1] на основе соотношений рациональной термодинамики
необратимых процессов для среды с внутренними параметрами со-
стояния получены соотношения для массовой плотности энтропии
h
=
1
ρ
Z
V
C
jikl
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂e
(
T
)
kl
(
x
)
∂T
e
ij
(
x
0
)
dV
(
x
0
)
−
B
0
(
κ
)
,
(1)
где
ρ
— плотность среды;
C
jikl
— компоненты тензора коэффициен-
тов упругости;
C
jikl
=
C
klji
,
i, j, k, l
= 1
,
2
,
3
;
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
— функция
влияния, определяющая эффект пространственной “памяти”, причем
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
dV
(
x
0
) = 1
,
а также
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
6
= 0
только при
(
|
x
0
−
x
|
)
2
V
(
x
0
)
;
e
ij
,
e
(
T
)
kl
—
компоненты тензоров микродеформации и температурной микроде-
формации,
e
ij
=
ε
ij
+
e
ijk
(
ω
k
−
ϕ
k
)
,
ε
ij
=
1
2
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
,
u
i
— про-
екции вектора перемещения на оси
O
x
i
прямоугольной системы ко-
ординат;
x
i
— декартовы координаты;
e
ijk
— символы Леви-Чивиты;
ω
k
=
e
kmn
∂u
n
∂x
m
−
∂u
m
∂x
n
;
ϕ
k
— проекции векторов линейного пово-
рота и микроповорота;
m, n
= 1
,
2
,
3
;
B
0
(
κ
)
— часть массовой плотно-
сти энтропии
h
, зависящая только от изменения термодинамической
температуры
κ
.
Положим, что в материале определяющим является только один,
фононный, механизм теплопроводности. Тогда кинетические уравне-
ния, описывающие изменение
κ
— вектора, характеризующего процесс
распространения теплоты, и
κ
— термодинамической температуры,
ассоциированной с локально неравновесным процессом аккумуляции
теплоты, можно представить в виде
t
q
˙
κ
i
+
A
ij
κ
j
= ˉ
κ
i
, t
T
˙
κ
+
A
44
κ
= ˉ
κ,
(2)
где
( ˙ ) =
∂
( )
∂t
, t
— время;
κ
i
— проекции вектора
κ
по оси
O
x
i
прямоугольной системы координат;
t
q
,
t
T
— времена релаксации
κ
i
и
κ
соответственно;
ˉ
κ
i
,
ˉ
κ
— равновесные значения этих же параметров.
Для получения уравнения закона сохранения энергии в виде урав-
нения теплопроводности необходимо конкретизировать выражения
для равновесных значений
ˉ
κ
i
и
ˉ
κ
параметров состояния и проекций
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
87
