ρc
ε
A
44
∂T
∂t
=
∂
∂x
i
λ
(
T
)
ij
+
λ
(
κ
)
ij
∂T
∂x
j
,
(8)
в котором коэффициент
A
44
учитывает увеличение удельной массо-
вой теплоемкости вследствие наличия свободных поверхностей в объ-
еме микро- и наноструктурного материала и относительной величины
суммарной свободной поверхности в единице массы этого материала
(
A
44
=
S
Σ
−
S
0
S
Σ
, где
S
Σ
— суммарная площадь поверхности частиц
в единице массы;
S
0
— суммарная площадь свободной поверхности
частиц в единице массы,
0
< A
44
6
1
). Учесть влияние рассеяния
фононов на свободных поверхностях микро- и наночастиц на процесс
теплопроводности в материале позволяет тензор с компонентами
λ
(
κ
)
ij
.
Очевидно, что
λ
(
κ
)
ij
→
0
и
λ
(
T
)
ij
→
◦
λ
(
T
)
ij
при
A
44
→
1
, где
◦
λ
(
T
)
ij
— компо-
ненты тензора теплопроводности поликристаллического материала, в
объеме которого отсутствуют свободные поверхности.
Следует отметить, что аналогичный подход к получению уравне-
ния теплопроводности для нелокальной среды изложен в [4], там же
приведены и некоторые численные результаты решения соответству-
ющей краевой задачи. Отличие полученных выше результатов от [5]
состоит в более полном учете эффектов термомеханической связанно-
сти и диссипации энергии при деформировании.
Несколько иной подход к построению модели нелокальной термо-
упругой среды без использования внутренних параметров состояния
рассмотрен в [5]. В этой работе
h
=
Z
V
c
ε
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
T
(
x
0
, t
)
−
T
0
T
0
+
1
ρ
C
ijkl
α
(
T
)
kl
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
e
ij
(
x
0
, t
)
dV
(
x
0
)
,
σ
ji
=
Z
V
C
jikl
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)(
e
kl
(
x
0
)
−
e
(
T
)
kl
(
x
0
)
dV
(
x
0
)
,
q
i
=
−
Z
V
λ
(
T
)
ij
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂x
j
dV
(
x
0
)
,
где
α
(
T
)
kl
=
∂e
(
T
)
kl
/∂T
— компоненты тензора коэффициентов темпера-
турной деформации;
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
— функции, аналогичные введенным
в (1).
Закон сохранения энергии при
δ
D
= 0
приводит к уравнению теп-
лопроводности
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
93
