вектора плотности теплового потока
q
i
, приняв их, например, в виде
ˉ
κ
i
=
−
Z
V
Z
(1)
ij
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂x
0
j
dV
(
x
0
)
−
Z
V
Z
(2)
ij
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂κ
(
x
0
, t
)
∂x
0
j
dV
(
x
0
)
,
(3)
ˉ
κ
=
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
T
(
x
0
, t
)
dV
(
x
0
)
, q
i
=
Z
V
ϕ
ij
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
κ
j
(
x
0
, t
)
dV
(
x
0
)
,
где
T
— абсолютная температура.
Равенства (3) не противоречат основным принципам рациональной
термодинамики необратимых процессов [2].
Решив систему уравнений (2) относительно
κ
i
и
κ
с начальными
условиями (
κ
i
= 0
и
κ
=
T
0
при
t
= 0
), получим функциональные
зависимости для
κ
i
=
κ
i
∂T
∂x
j
,
∂κ
∂x
j
и
κ
=
κ
(
T
)
.
В дальнейшем, в целях упрощения окончательного выражения
уравнения теплопроводности, положим в первом уравнении (2)
A
ij
=
δ
ij
(
δ
ij
— символ Кронекера),
A
44
= const
.
Тогда
κ
i
(
x, t
) =
−
Z
V
Z
(1)
ij
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂x
0
j
−
−
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
q
∂
∂t
0
∂T
(
x
0
, t
0
)
∂x
0
j
dt
0
dV
(
x
0
)
−
−
Z
V
Z
(2)
ij
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂κ
(
x
0
, t
)
∂x
0
j
−
−
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
q
∂
∂t
0
∂κ
(
x
0
, t
0
)
∂x
0
j
dt
0
dV
(
x
0
)
,
(4)
κ
(
x, t
) =
1
A
44
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
) (
T
(
x
0
, t
)
−
−
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
T
/A
44
∂T
(
x
0
, t
0
)
∂t
0
dt
0
dV
(
x
0
)
−
−
1
−
A
44
A
44
T
0
exp
−
t
t
T
/A
44
, κ
(
x,
0) =
T
0
= const
,
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
