+
1
2!
|
x
0
n
−
x
n
||
x
0
m
−
x
m
|
∂
4
T
(
x, t
)
∂x
n
∂x
m
∂x
i
∂x
j
+
...,
∂
2
κ
(
x
0
, t
)
∂x
0
i
∂x
0
j
=
∂
2
κ
(
x, t
)
∂x
i
∂x
j
+
|
x
0
m
−
x
m
|
∂
3
κ
(
x, t
)
∂x
m
∂x
i
∂x
j
+
+
1
2!
|
x
0
n
−
x
n
||
x
0
m
−
x
m
|
∂
4
κ
(
x, t
)
∂x
n
∂x
m
∂x
i
∂x
j
+
...,
∂e
(
T
)
kl
(
x
0
, t
)
∂T
=
∂e
(
T
)
kl
(
x, t
)
∂T
+
|
x
0
i
−
x
i
|
∂
2
e
(
T
)
kl
(
x, t
)
∂x
i
∂T
+
+
1
2!
|
x
0
j
−
x
j
||
x
0
i
−
x
i
|
∂
3
e
(
T
)
kl
(
x, t
)
∂x
j
∂x
i
∂T
+
...,
∂e
ij
(
x
00
, t
)
∂t
=
∂e
ij
(
x, t
)
∂t
+
|
x
00
m
−
x
0
m
|
∂
2
e
ij
(
x, t
)
∂x
m
∂t
+
+
1
2!
|
x
00
n
−
x
0
n
||
x
00
m
−
x
0
m
|
∂
3
e
ij
(
x, t
)
∂x
n
∂x
m
∂t
+
...
и т.д. Подставив (6) во второе уравнение из (4) и (5) и проведя ин-
тегрирование по объему, получим систему уравнений, описывающих
процесс теплопроводности в твердом теле с микро- и нанострукту-
рой, уже не содержащих интегралы по объему от искомых функций.
В нулевом приближении эти уравнения можно свести к одному:
ρc
ε
t
T
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
T
/A
44
∂T
(
x, t
)
∂t
0
dt
0
=
=
∂
∂x
i
λ
(
T
)
ij
∂T
∂x
j
−
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
q
∂
∂t
0
∂T
(
x, t
0
)
∂x
j
dt
0
+
+
1
A
44
λ
(
κ
)
ij
∂T
∂x
j
−
t
Z
0
exp
−
t
−
t
0
t
q
∂
∂t
0
∂T
(
x, t
0
)
∂x
j
dt
0
+
+
δ
D
+
q
V
−
(
A
44
−
1)
T
0
t
T
exp
−
t
t
T
/A
44
−
TC
jikl
∂e
(
T
)
kl
∂T
∂e
ij
∂t
.
(7)
При
|
t
T
˙
κ
|
min
|
A
44
κ
|
,
|
ˉ
κ
|
и
λ
(
κ
)
ij
= 0
из (3) следует известное
гиперболическое уравнение теплопроводности с учетом термоупругой
связанности [3].
Если положить
t
T
= 0
и
t
q
= 0
, то, пренебрегая двумя последними
слагаемыми в правой части уравнения (5), с учетом второго уравнения
из (4) в нулевом приближении получим классическое параболическое
уравнение теплопроводности
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
