Постановка задачи и математическая модель.
Рассматривается
задача о стационарной ударной волне (УВ) [1–5], распространяющей-
ся со скоростью
D
в двухфазном пористом материале — несжимаемой
вязкопластической среде (фаза 1), содержащей сферические поры ра-
диуса
a
(регулярная ячеистая схема [6]; наличием газа в порах прене-
брегается) с покрытием их поверхности (фаза 2; несжимаемая вязкая
среда). В предположении, что характерная длина волны много больше
размеров пор и расстояния между ними, в системе координат, свя-
занной с волной, интегралы уравнений сохранения массы и импуль-
са на фронте УВ можно представить в виде, справедливом для всех
промежуточных состояний в волне (объемным содержанием фазы 2
пренебрегается) [4, 5],
p
−
p
0
=
ρ
s
D
2
(
α
0
−
α
)
α
−
2
0
,
(1)
где
p
0
=
2
Y
3
ln
α
0
δ
+
α
0
−
1
(2)
— амплитуда упругого предвестника (
Y
— предел текучести материала
фазы 1). При этом зависимости между среднеинтегральными и фазо-
выми значениями величин двухфазного пористого материала опреде-
ляются равенствами [4]
p
=
α
−
1
[
δp
2
+ (1
−
δ
)
p
1
];
ρ
=
α
−
1
ρ
s
=
α
−
1
[
δρ
2
+ (1
−
δ
)
ρ
1
]
≈
α
−
1
ρ
1
;
α
=
b
3
b
3
−
a
3
;
δ
=
c
3
−
a
3
b
3
−
a
3
,
где
p
— давление;
ρ
— плотность;
b
— радиус сферического объема ха-
рактерного (представительного) элемента двухфазного пористого ма-
териала;
c
— радиус контактной границы фаз;
α, δ
— концентрацион-
ные симплексы подобия пористого материала. При этом, согласно [4],
результирующее уравнение связи, определяющее скачок начального
состояния двухфазного пористого материала во фронте УВ, динами-
чески неравновесно и может быть представлено в виде суммы ди-
намических слагаемых
p
d
(¨
α,
˙
α, α, δ
)
и
p
v
( ˙
α, α, δ
)
, отражающих инер-
ционные и вязкие эффекты при затекании пор, и слагаемого
p
s
(
α, δ
)
,
характеризующего статическое сопротивление материала фазы 1,
p
=
p
d
(¨
α,
˙
α, α, δ
) +
p
v
( ˙
α, α, δ
) +
p
s
(
α, δ
)
.
(3)
Уравнение (1) с учетом равенства (2) и уравнения связи (3), в ко-
тором нужно перейти к переменному
ξ
= (
x
−
Dt
)/
a
0
, определяет
структуру фронта стационарной УВ в двухфазном пористом материа-
ле. Математическая модель, используемая при анализе волнового про-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
97
