Регрессионный коэффициент, реализующий значение фактора
и отклика.
Пусть
Y
=
r
(
X, θ
)
2
Υ
R
1
(1)
— функция регрессии известного вида, определенная с точностью до
подлежащего оценке регрессионного коэффициента
θ
2
Θ
R
1
. Здесь
X
2 @
R
1
— независимая переменная. Пусть
(
X, y
)
— пара наблю-
дений значения функции отклика
y
, полученных при значении объяс-
няющей переменной
X
. Причем
y
=
Y
+
ε,
(2)
где погрешность
ε
— случайная величина с начальными моментами
Eε
= 0
, Eε
2
=:
σ
2
.
(3)
Предположим, что в точках области
A
2 @ ×
Υ
,
A
=
{
(
X, y
)
2
2 @ ×
Υ :
|
y
−
Y
|
6
ε
m
}
, где
|
ε
|
< ε
m
, существует и единственная
заданная неявно уравнением (1) функция
θ
=
θ
(
X, y
)
, отображающая
A
θ
(
X,y
)
−−−→
D
, где
D
2
Θ
.
Теорема 1.
Пусть выполняются условия (1–3), а также а)
|
ε
|
<
1
(
ε
m
= 1
), кроме того, в области
@ ×
D
:
b) функция регрессии
Y
=
r
(
X, θ
)
строго монотонная по переменной
θ
;
с) существу-
ют
r
0
θ
, r
00
θθ
, r
000
θθθ
и постоянная
q >
0
:
|
r
0
θ
|
> q
. Тогда реализация
◦
θ
параметра
θ
функции регрессии
Y
=
r
(
X, θ
)
в точке
(
X, y
)
2
A
—
смещенная оценка
θ
с приближением смещения
W
=
−
σ
2
r
00
θθ
(
X, θ
)
2 (
r
0
θ
(
X, θ
))
3
.
Доказательство.
По определению [3] оценка
◦
θ
параметра
θ
—
несмещенная оценка, если выполняется равенство
E
h
◦
θ
i
=
θ
. По по-
становке задачи
θ
=
θ
(
X, Y
)
решенное относительно
θ
уравнение
R
(
X, Y, θ
) = 0
, где
R
(
X, Y, θ
) =
Y
−
r
(
X, θ
)
. Так как
y
=
r X,
◦
θ
, то
◦
θ
=
θ
(
X, y
)
. Функцию
θ
(
X, y
)
представим как функцию, зависящую
от случайного аргумента
ε
:
θ
(
X, y
) =
θ
(
X, Y
+
ε
) =
θ
(
ε
)
.
По определению математического ожидания неслучайной функции
θ
от случайного аргумента
ε
имеем
E
h
◦
θ
i
=
1
Z
−
1
θ
(
ε
)
dF
ε
.
Выполнение условий b) и c) теоремы означает дифференцируемость
функции
θ
(
X, Y
)
по
Y
в точке
(
X, Y
)
2
A
до третьего порядка
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
