МАТЕМАТИКА
УДК 519.23
И. В. Г е т м а н с к а я
СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ПАРНОЙ
РЕГРЕССИИ
Рассматривается реализация параметра однопараметрической
парной регрессии в точке с координатами, соответствующими
значениям фактора и отклика. Найдены ее основные числовые
характеристики, с помощью которых определена состоятельная
оценка регрессионного коэффициента.
Предположим, требуется построить математическую модель
Y
=
=
r
(
X
)
, связывающую независимую переменную
X
и зависимую пе-
ременную
Y
, по результатам
n
наблюдений значений фактора
X
i
и
отклика
y
i
=
Y
i
+
ε
i
,
i
= 1
, n
, содержащего в себе погрешность
ε
i
,
возникающую либо из-за неучтенных факторов, либо из-за ошибок
измерений.
Класс функций, в котором целесообразно искать наилучшую
(в определенном смысле) аппроксимацию зависимости
Y
=
r
(
X
)
,
можно подобрать по внешнему виду экспериментальной зависимо-
сти
y
от
X
или исходя из физических соображений, связанных с
существом решаемой задачи.
Предположим,
=
— класс допустимых моделей зависимостей. Ап-
проксимирующая функция
r
(
X
)
из класса
=
, называется линией ре-
грессии. Если класс
=
задается некоторым параметрическим семей-
ством функций
{
r
(
X, θ
)
}
, где
θ
— свободный параметр, то
θ
называ-
ется регрессионным коэффициентом, а аппроксимирующие функции
Y
=
r
(
X, θ
)
2 =
называют парными однопараметрическими регрес-
сиями. В настоящий момент разработаны различные методы оценива-
ния параметра
θ
. Наибольшее распространение среди них получили
алгоритмы итерационного типа [1, 2], для которых “. . . первостепенное
значение имеет удачный выбор начального приближения” [1]. Приня-
то в качестве начального приближения использовать одно из значений
параметра
θ
, реализующего зависимость
Y
=
r
(
X, θ
)
в точках с коор-
динатами
(
X
i
, y
i
)
,
i
= 1
, n
[1].
В работе приводится доказательство того, что среднее значение ре-
ализаций
◦
θ
i
параметра
θ
регрессии
Y
=
r
(
X, θ
)
в экспериментальных
данных
(
X
i
, y
i
)
с учетом поправки является состоятельной оценкой
регрессионного коэффициента.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
3
