включительно, что позволяет представить функцию
θ
(
X, Y
)
по фор-
муле Тейлора в
ε
-окрестности точки
Y
с точностью до бесконечно
малой
о
(
y
−
Y
)
2
=
o
(
ε
2
)
:
θ
(
X, Y
+
ε
) =
θ
(
X, Y
) +
εθ
0
Y
(
X, Y
) +
(
ε
)
2
2
θ
00
Y Y
(
X, Y
) +
o ε
2
.
В результате получим
E
h
◦
θ
i
=
1
Z
−
1
θ
(
X, Y
) +
εθ
0
Y
(
X, Y
) +
(
ε
)
2
2
θ
00
Y Y
(
X, Y
) +
o ε
2
!
dF
ε
=
θ
(
X, Y
)
1
Z
−
1
dF
ε
+
θ
0
Y
(
X, Y
)
1
Z
−
1
εdF
ε
+
θ
00
Y Y
(
X, Y
)
2
1
Z
−
1
ε
2
dF
ε
+
1
Z
−
1
o ε
2
dF
ε .
Поскольку
1
Z
−
1
dF
ε
= 1
,
1
Z
−
1
εdF
ε
=
Eε
,
1
Z
−
1
ε
2
dF
ε
=
Eε
2
, а
1
Z
−
1
o ε
2
dF
ε
=
=
E o ε
2
, кроме того,
θ
=
θ
(
X, Y
)
—истинное значение
θ
, а по
условию (3)
Eε
= 0
,
Eε
2
=:
σ
2
, то
Е
h
◦
θ
i
=
θ
+
σ
2
θ
00
Y Y
(
X, Y
)
2
+
E o ε
2
.
Обозначим
W
=
σ
2
θ
00
Y Y
(
X, Y
)
2
. Пренебрегая третьим слагаемым, по-
лучим
˜
Е
h
◦
θ
i
≈
θ
+
W
— приближение
Е
h
◦
θ
i
.
Выразим смещение
W
через функцию регрессии
r
(
X, θ
)
. Для этого
найдем значение
θ
00
Y Y
(
X, Y
)
по правилу производной неявно заданной
R
(
X, Y, θ
) =
Y
−
r
(
X, θ
) = 0
функции
θ
(
X, Y
)
[4]:
∂θ
2
(
X, Y
)
∂Y
2
=
−
r
00
θθ
(
r
0
θ
)
3
.
В результате получим
W
=
−
σ
2
r
00
θθ
(
X, θ
)
2 (
r
0
θ
(
X, θ
))
3
. Что и требовалось до-
казать.
Теорема 2.
При выполнении условий
теоремы 1
дисперсия Var
h
◦
θ
i
регрессионного коэффициента
◦
θ
,
реализующего функцию регрессии
Y
=
r
(
X, θ
)
в точке
(
X, y
)
,
приближенно равна
Var
h
◦
θ
i
=
σ
r
0
θ
(
X, θ
)
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
5
