Таким образом, необходимо доказать, что
1)
E
h
˜
θ
i
=
θ
;
2)
Var
h
˜
θ
i
→
0
при
n
→ ∞
.
Доказательство п. 1
.
E
h
˜
θ
i
=
E
"
◦
θ
−
n
−
1
n
X
i
=1
W
i
#
=
E
"
n
−
1
n
X
i
=1
◦
θ
i
−
W
i
#
.
Исходя из свойств математического ожидания, с учетом того, что
W
i
— не случайная величина, имеем:
E
"
n
−
1
n
X
i
=1
◦
θ
i
−
W
i
#
=
n
−
1
n
X
i
=1
E
h
◦
θ
i
i
−
W
i
.
Так как для любого
i
выполняются все условия теоремы 1, то
E
◦
θ
i
=
θ
+
W
i
, откуда следует, что
E
h
˜
θ
i
=
n
−
1
nθ
=
θ
.
Доказательство п. 2
.
Var
h
˜
θ
i
=
Var
"
n
−
1
n
X
i
=1
◦
θ
i
−
W
i
#
.
Величины
◦
θ
i
,
i
= 1
, n
)
, — независимые, как значения неслучайной
функции
◦
θ
i
=
θ
(
X
i
, Y
i
+
ε
i
)
независимых случайных аргументов
ε
i
. В
результате
Var
h
˜
θ
i
найдем как дисперсию линейной комбинации неза-
висимых случайных величин:
Var
"
n
−
1
n
X
i
=1
◦
θ
i
−
W
i
#
=
Var
"
n
−
1
n
X
i
=1
◦
θ
i
#
=
n
−
2
n
X
i
=1
Var
h
◦
θ
i
i
.
Обозначим
M
=max
i
Var
◦
θ
i
. По
теореме 2
M
=max
i
σ
2
(
r
0
θ
(
X
i
, θ
))
−
2
.
Согласно условию
с
)
теоремы 1
8
i
9
постоянная
q>
0
:
|
r
0
θ
(
X
i
, θ
)
|
>
q
.
Тогда
M
6
σ
q
2
<
∞
. Так как
0
6
M <
∞
, то
0
6
Var
h
˜
θ
i
6
n
−
2
n
×
×
M
=
n
−
1
M
→
n
→∞
0
, откуда следует
Var
h
˜
θ
i
−→
n
→∞
0
, что и требовалось
доказать.
Вычислительный эксперимент оценивания регрессионного
коэффициента однопараметрической парной регрессии.
Вычисли-
тельный эксперимент проводился в компьютерной системе
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
