Доказательство.
Дисперсию
Var
h
◦
θ
i
найдем по формуле
Var
h
◦
θ
i
=
E
◦
θ
2
−
E
h
◦
θ
i
2
.
Начальный момент второго порядка
E
◦
θ
2
случайной величины
◦
θ
можно найти как начальный момент первого порядка неслучайной
функции
◦
θ
2
= (
θ
(
X, y
))
2
= (
θ
(
X, Y
+
ε
))
2
= (
θ
(
ε
))
2
=
ϕ
(
ε
)
от случайного аргумента
ε
[5], а именно:
E
[
ϕ
(
ε
)] =
∞
Z
−∞
ϕ
(
ε
)
dF
ε
.
Если
θ
(
X, Y
+
ε
) =
θ
(
X, Y
) +
εθ
0
Y
(
X, Y
) +
(
ε
)
2
2
θ
00
Y Y
(
X, Y
) +
o ε
2
— приближение функции
θ
(
X, Y
+
ε
)
по формуле Тейлора в
ε
-ок-
рестности точки
Y
, то
θ
2
(
X, Y
+
ε
) =
θ
2
(
X, Y
) + 2
ε θ
(
X, Y
)
θ
0
Y
(
X, Y
) +
+
ε
2
(
θ
0
Y
(
X, Y
))
2
+
θ
(
X, Y
)
θ
00
Y Y
(
X, Y
) +
ψ o ε
2
,
где
ψ
(
o
(
ε
2
))
включает в себя слагаемые,зависящие от степеней
ε
выше
второй. Пренебрегая
ψ
(
o
(
ε
2
))
и интегрируя последнее выражение на
интервале
(
−
1
,
1)
, получим
E
◦
θ
2
=
θ
2
+
σ
2
(
θ
0
Y
(
X, Y
))
2
+
θ θ
00
Y Y
(
X, Y
)
.
В результате
Var
h
◦
θ
i
=
E
◦
θ
2
−
E
h
◦
θ
i
2
=
=
θ
2
+
σ
2
(
θ
0
Y
(
X, Y
))
2
+
θ θ
00
Y Y
(
X, Y
)
−
−
θ
2
+
σ
2
θ θ
00
Y Y
(
X, Y
)
=
σ
2
(
θ
0
Y
(
X, Y
))
2
.
Так как
∂θ
(
X, Y
)
∂y
=
1
r
0
θ
,
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
