где
α
= 2
γkT /M
2
;
β
=
γ/M
. Для низких частот спектральная плот-
ность
G
V
(
ω
)
стремится к постоянной величине:
G
V
(
ω
)
|
ω
→
0
=
2
kT
γ
.
(5)
Если случайный процесс
ξ
(
t
)
представляет собой производную от
процесса с независимыми приращениями, то скорость
V
(
t
)
броунов-
ской частицы описывается марковским случайным процессом, что
позволяет определить для нее любые
L
-мерные характеристические
функции, а следовательно, и любые многомерные функции распреде-
ления [3].
Отметим, что описанный подход может быть использован и при
решении задачи определения флуктуаций температуры тела, находя-
щегося в тепловом контакте с термостатом, если тепловой поток от
него пропорционален разности температур тела и термостата.
Рассмотренная простейшая модель броуновского движения приме-
нима только в том случае, если сила вязкого трения в среде может
быть записана в виде равенства (2). Но в реальном случае, кроме не-
посредственного соударения броуновской частицы с находящимися в
близости от нее частицами среды, наблюдается увлечение частиц сре-
ды, расположенных на расстоянии от броуновской частицы [5]. Это
приводит к существенному изменению характера вязкого трения и со-
отношение (2) становится несправедливым.
Учет увлечения вязкой жидкости движущимся телом приводит к
необходимости использования для описания движения интегральных
уравнений, что в свою очередь делает необходимым применение тео-
рии немарковских процессов [6]. В данной работе рассмотрены явле-
ния вязкости и теплопроводности в полупространстве и показано, что
даже для этих простейших случаев неприменимо традиционное опи-
сание случайных процессов как марковских.
Вязкость в полупространстве.
Рассмотрим движение плоской по-
верхности в вязкой жидкости, занимающей полупространство (
x >
0)
.
Будем считать, что плоскость расположена в начале координат (при
x
= 0)
, а ее движение со скоростью
V
(
t
)
происходит в направле-
нии, перпендикулярном оси
x
и лежащем в плоскости (см. рис. 1). На
плоскость действуют сила вязкого трения
F
(
t
)
со стороны среды и
случайная сила
ξ
V
(
t
)
(на единицу площади).
Движение плоскости в вязкой жидкости будет описываться урав-
нением (1) (масса
M
считается отнесенной к единице площади), а
вместо соотношения (2) необходимо применять формулу для силы
вязкого трения, действующей со стороны жидкости:
F
(
t
) =
η
∂u
(
x, t
)
∂x
x
=0
,
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
63
