Рис. 3. График функции
R
(
t
−
τ
)
Рис. 4. График характеристической
функции
g
1
(
λ, t
)
при значениях
t
= 1
(
1
), 10 (
2
) и 30 (
3
)
График функции
g
1
(
λ, t
)
для различных
t
изображен на рис. 4. Вид-
но, что эта функция имеет характер кривой Гаусса.
Спектральная плотность.
Полученные выражения (25) и (26) по-
зволяют определить любые характеристики случайного процесса
Z
(
t
)
.
В частности, для корреляционной функции
h
Z
(
t
1
)
Z
(
t
2
)
i
получим
h
Z
(
t
1
)
Z
(
t
2
)
i
=
σ
δ
(
t
2
−
t
1
) +
R
(
t
2
, t
1
) +
∞
X
m,n
=1
r
m
r
n
f
mn
!
,
(28)
где функция
f
mn
определяется выражением (27), в котором сделана
замена
t
k
=
t
1
, t
l
=
t
2
. Последняя формула дает возможность рас-
считать спектральную плотность случайного процесса
Z
(
t
)
согласно
определению [3]:
G
Z
(
ω
) =
1
2
π
+
∞
Z
−∞
h
Z
(
t
)
Z
(
t
−
τ
)
i
e
−
iωτ
dτ .
(29)
Численный расчет при учете соотношений (21), (22) и (28) приводит
к графику спектральной плотности для процесса
Z
(
t
)
при различных
значениях
t
и при
A
= 0
,
1
c
−
1
/
2
, показанному на рис. 5.
Преобразование Лапласа уравнения (20) позволят записать его в
изображениях
ˆ
Z
(
p
) +
A
√
π
√
p
ˆ
Z
(
p
) = ˆ
ξ
(
p
)
(30)
или
ˆ
Z
(
p
) =
√
p
√
p
+
A
√
π
ˆ
ξ
(
p
)
,
(31)
где
ˆ
Z
(
p
)
и
ˆ
ξ
(
p
)
— изображения функций
Z
(
t
)
и
ξ
(
t
)
соответственно.
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
