Рис. 1. Движение плоскости в вязкой
жидкости
где
η
— вязкость жидкости,
u
(
x, t
)
— скорость течения жидкости.
В рассматриваемом одномер-
ном случае, считая скорость жид-
кости малой, уравнение для
u
(
x, t
)
при
x >
0
имеет вид [5]
∂u
∂t
=
ν
∂
2
u
∂x
2
,
(7)
где
ν
=
η/ρ
,
ρ
— плотность жидко-
сти.
Граничное и начальное условия
для уравнения (7) имеют форму
u
(
x,
0) = 0
,
(8)
u
(0
, t
) =
V
(
t
)
.
(9)
Тогда решение уравнения (7) с учетом условий (8) и (9) приобретает
вид [7]
u
(
x, t
) =
1
2
√
πν
t
Z
0
x
(
t
−
τ
)
3/2
exp
−
x
2
4
ν
(
t
−
τ
)
V
(
τ
)
dτ.
(10)
Найдем производную выражения (10) по переменной
x
:
∂u
(
x, t
)
∂x
=
1
2
√
πν
t
Z
0
1
(
t
−
τ
)
3
/
2
−
2
x
2
4
ν
(
t
−
τ
)
5
/
2
×
×
exp
−
x
2
4
ν
(
t
−
τ
)
V
(
τ
)
dτ.
(11)
Вычисление интеграла (11) по частям дает
∂u
(
x, t
)
∂x
=
−
1
√
πν
t
Z
0
1
√
t
−
τ
exp
−
x
2
4
ν
(
t
−
τ
)
dV
(
τ
)
dτ
dτ.
(12)
Подстановка выражения (12) в формулу (6) позволяет определить за-
висимость силы
F
(
t
)
от скорости
V
(
t
)
:
F
(
t
) =
−
η
√
πν
t
Z
0
1
√
t
−
τ
dV
(
τ
)
dτ
dτ.
(13)
Эта формула для рассматриваемого случая заменяет выражение (2).
Формула (13) получена другим способом в работе [5].
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
